Question

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕的一端點(diǎn)G在邊BC上，BG=10．

（1）當(dāng)折痕的另一端點(diǎn)F在AB邊上時(shí)，如圖①，求△EFG的面積；
（2）當(dāng)折痕的另一端點(diǎn)F在AD邊上時(shí)，且B，F(xiàn)及A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H三點(diǎn)共線，如圖②，證明：四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,菱形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先利用翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AF和EF的長(zhǎng)，即可得出△EFG的面積；
（2）首先證明四邊形BGEF是平行四邊形，再利用BG=EG，得出四邊形BGEF是菱形，再利用菱形性質(zhì)求出FG的長(zhǎng)．

解答：（1）解：如圖①過G作GH⊥AD，
在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，
所以，EH=

102-82

=6，AE=10-6=4，
設(shè)AF=x，則EF=BF=8-x，
則AF²+AE²=EF²，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
故△EFG的面積為：

1

2

×5×10=25；

（2）證明：如圖②，過F作FK⊥BG于K，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BH∥EG，
∴四邊形BGEF是平行四邊形；
由對(duì)稱性知，BG=EG，
∴四邊形BGEF是菱形．

解：∵四邊形BGEF是菱形，
∴BG=BF=10，AB=8，AF=6，
∴KG=4，
∴FG=

82+42

=4

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及菱形的判定和勾股定理以及三角形面積求法等知識(shí)，注意利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．