Question

20．△ABC中，AC=BC，在邊AB上截取AD=AC，連接CD，若點(diǎn)D恰好是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，則∠A的度數(shù)是（　�。�

• A． 22.5°
• B． 30°
• C． 36°
• D． 45°

Answer 1

分析 根據(jù)黃金分割的定義得到AD²=BD•AB，而AD=AC=BC，則BC²=BD•AB，根據(jù)相似三角形的判定得△BCD∽△BAC，則∠A=∠BCD，設(shè)∠A=x，則∠B=x，∠BCD=x，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ADC=∠BCD+∠B=2x，所以∠ACD=∠ADC=2x，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到x+2x+x+x=180°，再解方程即可．

解答 解：∵點(diǎn)D是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，
∴AD²=BD•AB，
∵AD=AC=BC，
∴BC²=BD•AB，
即BC：BD=AB：BC，
而∠ABC=∠CBD，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠A=∠BCD，
設(shè)∠A=x，則∠B=x，∠BCD=x，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x，
而AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=2x，
∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°，
即∠A=36°．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．