Question

3．已知：如圖，在⊙O中，弦AB=$\sqrt{3}$OA，C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，連接OB，AC和BC，求證：四邊形OACB是菱形．

Answer 1

分析 由C為弧AB的中點(diǎn)，OC為半徑，利用垂徑定理的逆定理得到PA=PB，OC垂直于AB，由AP為AB的一半，根據(jù)題中條件用AO表示出AP，在直角三角形AOP中，利用勾股定理表示出OP，進(jìn)而確定出OP=PC，即四邊形ACBO對(duì)角線互相平分，可得出此四邊形為平行四邊形，再由對(duì)角線垂直的平行四邊形為菱形即可得證．

解答 證明：∵C為$\widehat{AB}$=的中點(diǎn)，OC為半徑，
∴PA=PB，AB⊥OC，
∵AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO，
∴OP=$\sqrt{A{O}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{A{O}^{2}-\frac{3}{4}A{O}^{2}}$=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC，
∴PC=$\frac{1}{2}$OC，即OP=PC，
∴四邊形OACB是平行四邊形，
又∵AB⊥OC，
∴四邊形OACB是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了垂徑定理，勾股定理，菱形的判定，以及平行四邊形的判定，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．