Question

9．如圖，在△ABC中，∠MAC為∠BAC的外角，P為∠MAC的平分線的反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)（A除外）．
（1）試比較AB+AC與BP+PC的大��；
（2）若AB＞AC，點(diǎn)P在∠MAC平分線的反向延長(zhǎng)線上，使得∠BPC=∠BAC，作PN⊥AB于N，求證：AB-AC=2AN．

Answer 1

分析 （1）如圖作PG⊥CA于G，PN⊥AB于N．由△PAG≌△PAN，得到AG=AN，在Rt△PCG中，PC＞CG即PC＞AC+AG，在Rt△PBN中，PB＞BN即PB＞AB-AN，由此根據(jù)不等式性質(zhì)即可證明．
（2）首先證明P、B、C、A四點(diǎn)共圓，推出PB=PC，再證明△PCG≌△PBN，得CG=BN，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖作PG⊥CA于G，PN⊥AB于N．

∵PA平分∠BAG，PG⊥AG，PN⊥AN，
∴PG=PN，
在Rt△PAG和Rt△PAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PG=PN}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△PAN，
∴AG=AN，
在Rt△PCG中，PC＞CG即PC＞AC+AG，
在Rt△PBN中，PB＞BN即PB＞AB-AN，
∴PB+PC＞（AC+AG）+（AB-AN），
∴PB+PC＞AB+AC．

（2）如圖，作PG⊥CA于G．

∵∠BPC=∠BAC，
∴P、B、C、A四點(diǎn)共圓，
∴∠PAG=∠PBC，∠PAB=∠ACB，
∵∠PAG=∠PAB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC，
由（1）可知，PG=PN，AG=AN，
在Rt△PCG和△PBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PN=PG}\end{array}\right.$，
∴△PCG≌△PBN，
∴CG=BN，
∴AB-AC=（BN+AN）-（CG-AG）=AN+AG=2AN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、垂線段最短、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．