Question

8．如圖，過(guò)?ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線，分別交AB，BC，CD，DA于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，有下面四個(gè)結(jié)論，①OH=OF；②∠HGE=∠FGE；③S_{四邊形DHOG}=S_{四邊形BFOE}；④△AHO≌△AEO，其中正確的是（　�。�

• A． ①③
• B． ①②③
• C． ②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OA=OC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OAE=∠OCG，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OG，同理可得OF=OH，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形得到四邊形EFGH是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠HGE=∠FGE，根據(jù)全等三角形的判定得到△DOG≌△BOE，同理△DOH≌△BOF，于是得到S_{四邊形DHOG}=S_{四邊形BFOE}，由于OH不一定等于OE，AH不一定等于AE，得到△AHO不一定全等于△AEO，于是得到結(jié)論．

解答 解：四邊形EFGH是菱形．
證明：連接AC，BD，
則AC，BD必過(guò)O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EAO和△CGO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COG}\end{array}\right.$，
∴△EAO≌△CGO（ASA），
∴OE=OG，
同理OH=OF，故①正確；
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵HF⊥EG，
∴四邊形EFGH是菱形，
∴∠HGE=∠FGE，故②正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=OB，
在△DOG與△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠BOE=∠DOG}\\{OG=OE}\end{array}\right.$，
∴△DOG≌△BOE，
同理△DOH≌△BOF，
∴S_{四邊形DHOG}=S_{四邊形BFOE}，故③正確；
∵OH不一定等于OE，AH不一定等于AE，
∴△AHO不一定全等于△AEO，故④錯(cuò)誤；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．