Question

3．如圖1、2，A、B是y軸上的兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上邊），C、D是x軸上的兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)．
（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，求證：AB=PC；
（2）如圖1，連接EF，若AB=4，CD=2，求EF的長(zhǎng)；
（3）如圖2，若AB=CD，當(dāng)線段AB、CD分別在y軸、x軸上滑動(dòng)時(shí)，直線EF與x軸正方向的夾角∠α的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)你求出∠α的大�。�

Answer 1

分析 （1）欲證明AB=PC，只要證明△ABE≌△PCE即可．
（2）如圖1中，連接DP，先求出DP，再利用三角形中位線定理即可解決．
（3）結(jié)論：∠α的大小不變，∠α=45°．如圖2中，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，由（1）可知CP=AB=CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵OA⊥OD，PC⊥OD，
∴AB∥PC，
∴∠EAB=∠EPC，
在△ABE和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EPC}\\{∠AEB=∠PEC}\\{BE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△PCE，
∴AE=EP．
（2）如圖1中，連接DP，

∵△AEB≌△PEC，
∴AE=EP，
∵CP=AB=4，CD=2，
∴DP=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵E、F分別是AP、AD中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$DP=$\sqrt{5}$．
（3）結(jié)論：∠α的大小不變，∠α=45°

理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，
由（1）可知，CP=AB=CD，
∴∠CDP=45°，
∵EF∥DP，
∴∠α=∠CDP=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用（1）的證明方法，添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．