Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，且AB垂直弦CD于點(diǎn)E，點(diǎn)G是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB=8，CD=4$\sqrt{2}$．
（1）連接GC，GD，試問當(dāng)GE為何值時(shí)，△GDC是等邊三角形？
（2）填空：
①當(dāng)GE=4-2$\sqrt{2}$，四邊形GCBD是菱形；
②當(dāng)PB=4$\sqrt{2}$-4，四邊形PCOD是正方形．

Answer 1

分析 （1）把△GDC作為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義得出GE長(zhǎng)度即可；
（2）①根據(jù)四邊形GCBD是菱形，得出GB和CD互相平分，設(shè)BE=x，則GE=x，OE=4-x，由勾股定理得出x即可，
②根據(jù)四邊形PCOD是正方形，得出OC=PC，由勾股定理得出OP，從而得出PB即可．

解答 解：（1）當(dāng)GE=2$\sqrt{6}$時(shí)，△GDC是等邊三角形；
理由如下：∵AB是⊙O的直徑，且AB垂直弦CD于點(diǎn)E，
∴GC=GD，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
∵GE=2$\sqrt{6}$，
∴tanC=$\frac{GE}{CE}$=$\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠C=60°，
∴△GDC是等邊三角形；
（2）①連接OC，如圖1，
∵四邊形GCBD是菱形，
∴BE=GE，
設(shè)BE=x，則GE=x，OE=4-x，
∵OC=4，CD=4$\sqrt{2}$，
∴CE=2$\sqrt{2}$，
∴（4-x）²+（2$\sqrt{2}$）²=16，
∴x=4±2$\sqrt{2}$，
∵BE＜4，
∴x=4-2$\sqrt{2}$，
∴GE=4-2$\sqrt{2}$；
②如圖2，∵四邊形PCOD是正方形，
∴OC=PC，
∵OC=4，CD=4$\sqrt{2}$，
∴OP=4$\sqrt{2}$，
∵BO=4，
∴PB=4$\sqrt{2}$-4，
故答案為4-2$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定，等邊三角形的判定定理以及正方形的判定和性質(zhì)，是一道綜合型的題目，難度不大，是中考的常見題型．