Question

20．已知拋物線y₁=ax²-4ax+3（a≠0）與y軸交于點(diǎn)A，A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，直線OB分別與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C．
（1）直接寫出對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知直線y₂=bx-4b+3（b≠0）與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D．
①判斷直線y₂=bx-4b+3（b≠0）是否經(jīng)過點(diǎn)B，并說明理由；
②若△BDC的面積為1，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點(diǎn)公式即可求得對(duì)稱軸，令x=0，求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求得B的坐標(biāo)；
（2）①把B的坐標(biāo)代入即可判斷；②求得OB的解析式，即可求得C的坐標(biāo)，根據(jù)C的坐標(biāo)和三角形的面積即可求得D的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線為y₁=ax²-4ax+3（a≠0），
∴對(duì)稱軸是直線x=-$\frac{-4a}{2×a}$=2，
令x=0，則y=3，
∴A（0，3），
∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3）；
（2）①經(jīng)過，
理由：把x=4代入直線y₂=bx-4b+3（b≠0）點(diǎn)y₂=3，
故直線y₂=bx-4b+3（b≠0）是否經(jīng)過點(diǎn)B；
②∵B（4，3），
∴直線OB為：y=$\frac{3}{4}$x，
把x=2代入得y=$\frac{3}{2}$，
∴C（2，$\frac{3}{2}$），
∵△BDC的面積為1，
∴$\frac{1}{2}$CD•（4-2）=1，
∴CD=1，
∴D（2，$\frac{5}{2}$）或（2，$\frac{1}{2}$），
把（2，$\frac{5}{2}$）代入y₂=bx-4b+3得$\frac{5}{2}$=2b-4b+3，
解得b=$\frac{1}{4}$；
把（2，$\frac{1}{2}$）代入y₂=bx-4b+3得$\frac{1}{2}$=2b-4b+3，
解得b=$\frac{5}{4}$，
∴b的值為$\frac{1}{4}$或$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形面積等，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的解析式，進(jìn)而求得C和D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．