Question

15．如圖，△ABC中，∠B=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，半徑為2的⊙O從點(diǎn)A開(kāi)始（圖1），沿AB向右滾動(dòng)，滾動(dòng)時(shí)始終與AB相切（切點(diǎn)為D）；當(dāng)圓心O落在AC上時(shí)滾動(dòng)停止，此時(shí)⊙O與BC相切于點(diǎn)E（圖2）．作OG⊥AC于點(diǎn)G．
（1）利用圖2，求cos∠BAC的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），求OG；
（3）如圖3，在⊙O滾動(dòng)過(guò)程中，設(shè)AD=x，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示OG，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖2所示，由圓O與AB相切，得到OD與AB垂直，根據(jù)tan∠BAC與OD的值，求出AD與OA的長(zhǎng)，即可確定出cos∠BAC的值；
（2）如圖1所示，連接OA，由圓O與AB相切，得到OA與AB垂直，再由OG垂直于AC，得到∠AOG與∠OAG互余，利用銳角三角函數(shù)定義求出OG的長(zhǎng)即可；
（3）如圖3所示，連接OD交AC于點(diǎn)F，由圓O與AB相切，得到OD與AB相切，利用切線的性質(zhì)得到OD與AB垂直，根據(jù)OG與AC垂直，利用同角的余角相等得到∠FOG與∠BAC相等，利用銳角三角函數(shù)定義用x表示出OG，并求出x的范圍即可．

解答 解：（1）如圖2，連接OD，
∵⊙O與AB相切，
∴OD⊥AB，
∵tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，OD=2，
∴AD=4，OA=2$\sqrt{5}$，
∴cos∠BAC=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）如圖1，連接OA，
∵⊙O與AB相切，
∴OA⊥AB，
又∵OG⊥AC，
∴∠AOG=∠BAC=90°-∠OAG，
∵cos∠AOG=$\frac{OG}{OA}$，
∴OG=OA•cos∠AOG=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（3）如圖3，連接OD交AC于點(diǎn)F，
∵⊙O與AB相切，
∴OD⊥AB，
∴∠FOG=90°-∠OFG，
又∵OG⊥AC，
∴∠BAC=90°-∠AFD，
又∵∠FOG=∠AFD，
∴∠FOG=∠BAC，
∵tan∠BAC=$\frac{FD}{AD}$，
∴FD=AD•tan∠BAC=$\frac{1}{2}$x，
∴OF=2-$\frac{1}{2}$x，
∵cos∠BAC=cos∠FOG=$\frac{OG}{OF}$，
∴OG=OF•cos∠FOG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（2-$\frac{1}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$x+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，x的取值范圍是：0≤x≤4．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓綜合題，涉及的知識(shí)有：切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．