Question

18．如圖，在直角坐標系中有一個等腰△AOB，點O為坐標原點，AO=AB，OB=4，tan∠AOB=2，點C是線段OA的中點．
（1）求點C的坐標；
（2）若點P是x軸上的一個動點，使得∠APO=∠CBO，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A、點P，求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（3）在（2）的條件下，點M是拋物線圖象上的一個動點，以M為圓心的圓與直線OA相切，切點為點N，點A關(guān)于直線MN的對稱點為點D．請你探索：是否存在這樣的點M，使得△MAD∽△AOB．若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點A作AH⊥OB于點H，首先求出點A坐標，再求出線段OA的中點C的坐標即可．
（2）由于∠APO=∠CBO，所以由（1）可知：tan∠APO=tan∠CBO=$\frac{2}{3}$，從而可知PD=6，設(shè)P（x，0），可知|x-2|=6，解出x的值后，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（3）若△MAD∽△AOB，則∠MAN=∠AOB，由于（2）問中由兩個拋物線解析式，所以分兩種情況討論，由于切點N的不確定性，所以點N的位置由兩種，一種是點N在點A的上方，另一種是點N在點A的下方．

解答 解：（1）如圖1中，過點A作AH⊥OB于點H．

∵AO=AB，AH⊥OB，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=2，
∵tan∠AOB=2，
∴AH=4，
∴點A的坐標為（2，4）．
∵C是OA的中點，
∴點C的坐標為（1，2）．

（2）由（1）可知：A的坐標為（2，4），
∵∠APO=∠CBO，
∴tan∠APO=tan∠CBO=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AH}{PH}$=$\frac{2}{3}$，
∴PH=6，
設(shè)P的坐標為（x，0），
∵H（2，0），
∴PH=|x-2|
∴|x-2|=6，
∴x=8或x=-4，
∴P（8，0）或（-4，0）；
當P的坐標為（8，0）時，
把A（2，4）和（8，0）代入y=ax²+bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=4a+b}\\{0=64a+8b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x，
當P的坐標為（-4，0）時，
把A（2，4）和P（-4，0）代入y=ax²+bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=4a+2b}\\{0=16a-4b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x，
綜上所述，拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x或y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x；

（3）當拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x時，如圖2，


當△MAD∽△AOB時，
∵△AOB是等腰三角形，
∴∠MAD=∠AOB，
①若點N在A的上方時，
此時∠MAN=∠AOB，
∴AM∥x軸，
∴M的縱坐標為4，
∴把y=4代入y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x，
解得：x=2（舍去）或x=6，
∴M的坐標為（6，4），
②如圖3中，當點N在點A的下方時，此時∠MAN=∠AOB，

∴DM∥x軸，
過點A作AE⊥DM于點E，交于x軸于點F
∴DE=2-a，
∵tan∠MDA=tan∠AOB=2，
∴AE=2DE=4-2a
∴由勾股定理可知：AD=$\sqrt{5}$（2-a）
∴$\frac{OA}{DM}$=$\frac{OB}{AD}$，
∴DM=$\frac{5（2-a）}{4}$，設(shè)M的橫坐標為x，
∴x-a=$\frac{5（2-a）}{4}$．
∴x=$\frac{10-a}{4}$，
∴M（ $\frac{10-a}{4}$，2a）
把M（ $\frac{10-a}{4}$，2a）代入y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x，
∴2a=-$\frac{1}{3}$（ $\frac{10-a}{4}$）²+$\frac{8}{3}$×（ $\frac{10-a}{4}$）
解得：a=2或a=-110
∴當a=2時，M（2，4）舍去
當a=-110時，M（30，-220）

當拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x時，如圖4，

若點N在點A的上方時，
此時∠MAN=∠AOB，
延長MA交x軸于點F，
∵∠MAN=∠OAF，
∴∠AOB=∠OAF，
∴FA=FO，
過點F作FG⊥OA于點G，
∵A（2，4），
∴由勾股定理可求得：AO=2 $\sqrt{5}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$AO=$\sqrt{5}$，
∵tan∠AOB=$\frac{GF}{OG}$，
∴GF=2 $\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可求得：OF=5，
∴F的坐標為（5，0），
設(shè)直線MA的解析式為：y=mx+n，
把A（2，4）和F（5，0）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線MA的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴解得：x=2（舍去）或x=-10，
把x=-10代入y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
∴y=20，
∴M（-10，20），
若點N在點A的下方時，
此時∠MAN=∠AOB，
∴AM∥x軸，
∴M的縱坐標為4，
把y=4代入y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x，
∴x=-6或x=2（舍去），
∴M（-6，4），
綜上所述，存在這樣的點M（6，4）或（-10，20）或（-6，4），使得△MAD∽△AOB．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及勾股定理，待定系數(shù)法求解析式，解方程，垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．