Question

如圖，在邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC中作內(nèi)接矩形EFGH，使FG在BC邊上，點(diǎn)E，H分別在A(yíng)B，AC邊上，求這個(gè)矩形面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專(zhuān)題：

分析：如圖，作輔助線(xiàn)；求出AN=

3

2

a，AM=

3

2

a-λ；證明△AEH∽△ABC，求出EH=a-

2 3

3

λ，S=λ（a-

2 3

3

λ）=-

2 3

3

λ2+aλ，即可解決問(wèn)題．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，交EH于點(diǎn)M；
∵四邊形EFGH為矩形，
∴EF=MN（設(shè)為λ），EH∥BC；
∵△ABC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，
∴∠B=60°，sin60°=

AN

AB

，
∴AN=

3

2

a，AM=

3

2

a-λ；
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴

AM

AN

=

EH

BC

，
解得EH=a-

2 3

3

λ，
∴S=λ（a-

2 3

3

λ）
=-

2 3

3

λ2+aλ，
∴S的最大值為Smax=

-a2

4×(- 2 3 3 )

=

3

8

a2．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、二次函數(shù)的最值公式及其應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．