Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC的平分線交△ABC外接圓于點(diǎn)D，連接BD，若AB=2AC=4．
（1）則BD長(zhǎng)為2．
（2）設(shè)點(diǎn)P在優(yōu)弧CAB上由點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)，但不與點(diǎn)C、B重合，記∠PBC的角平分線與PD交點(diǎn)為I，點(diǎn)I隨點(diǎn)P的移動(dòng)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)l的取值范圍是0＜l＜$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）首先利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠BAC=60°，即可得出∠BAD=30°，進(jìn)而求出BD的長(zhǎng)即可；
（2）利用I為△CPB的內(nèi)心，動(dòng)點(diǎn)I到定點(diǎn)D的距離為2，即點(diǎn)I的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，2為半徑的弧CIB（不含點(diǎn)C、B），可求出弧CIB的長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$π，進(jìn)而求出l的取值范圍．

解答 解：（1）∵∠BCA=90°，AB=2AC=4，
∴AC=2，則cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=60°，
∵∠BAC的平分線交△ABC外接圓于點(diǎn)D，
∴∠BAD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$B=2．
故答案為：2．

（2）如圖，設(shè)I為△CPB的內(nèi)心，
則∠PBI=∠IBC，
∵BD=CD，
∴∠BPD=∠DBC，
∴∠PBI+∠BPD=∠IBC+∠CBD，即∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵BD=CA=2，
∴ID=2，
∴動(dòng)點(diǎn)I到定點(diǎn)D的距離為2，即點(diǎn)I的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，2為半徑的弧CIB（不含點(diǎn)C、B），
弧CIB的長(zhǎng)為：$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4π}{3}$，
則l的取值范圍是：0＜l＜$\frac{4π}{3}$．
故答案為：0＜l＜$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合以及有關(guān)圓的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，得出$\widehat{CIB}$的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．