Question

6．提出問題
在一個(gè)圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長(zhǎng)，我們稱這條直線為這個(gè)圖形的“等分積周線”．
探究問題
（1）如圖①，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=4，請(qǐng)你過(guò)點(diǎn)C畫出△ABC的一條“等分積周線”，與AB交于點(diǎn)D，并求出CD的長(zhǎng)；
（2）如圖②，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，過(guò)點(diǎn)C畫一條直線CE，其中點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，你覺得CE可能是△ABC的“等分積周線”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
解決問題
（3）西安市區(qū)的環(huán)境越來(lái)越美，隨處可見的街心花園成為人們休閑的好去處．在某地的街心花園中有一塊如圖③所示的空地ABCD，其中∠A=∠B=90°，AB=4，BC=6，CD=5，現(xiàn)要在這塊空地上修建一條筆直的水渠（渠寬不計(jì)），使這條水渠所在的直線既平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)，又平分四邊形ABCD的面積，且要求這條水渠必須經(jīng)過(guò)BC邊．請(qǐng)你畫出所有滿足條件的水渠，說(shuō)明理由，并求出該水渠與BC邊的交點(diǎn)到點(diǎn)B的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，過(guò)C作CD⊥AB．線段CD即為△ABC的“等分積周線”．根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求出CD的長(zhǎng)．
（2）不能．當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，S_△BCE=S_△ACE，由BE=AE，AC≠BC，可知C_△BCE≠C_△ACE，所以CE不可能是△ABC的“等分積周線”．
（3）如圖3中，過(guò)D作DE⊥BC，則AB=DE=4，首先求出四邊形ABCD的面積、周長(zhǎng)，分三種情形討論即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，過(guò)C作CD⊥AB．線段CD即為△ABC的“等分積周線”．

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°
∴∠A=∠B=45°，
∴CA=CB，∵CD⊥AB，
∴AD=DB，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=2；

（2）不能．
理由：如圖2中，

當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，S_△BCE=S_△ACE，
∵BE=AE，AC≠BC，
∴C_△BCE≠C_△ACE
∴所以CE不可能是△ABC的“等分積周線”．

（3）如圖3中，過(guò)D作DE⊥BC，則AB=DE=4，
∵CD=5，
∴CE=3，
∵BC=6，
∴BE=AD=3，
∴S_{四邊形ABCD}=18，C_{四邊形ABCD}=18．

①如圖4中，當(dāng)直線l交AD、BC于M、N．

設(shè)BN=x，則AM=9-4-x=5-x，
S_{四邊形ABNM}=$\frac{1}{2}$（5-x+x）•4=10≠9，不成立

②如圖5中，當(dāng)直線l交AB、BC于M、N．

設(shè)BN=x，BM=9-x，
則S_△BMM=$\frac{1}{2}$•x（9-x）=9，
解得x=6或3（舍棄，此時(shí)BM＞4），
∴BF=6．

③如圖6中，當(dāng)直線l交CD、BC于M、N．

設(shè)CN=x，CM=9-x，作MH⊥BC于H，易知MH=$\frac{4}{5}$（9-x），
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{4}{5}$（9-x）=9，
∴2x²-18x+45=0，
△=-36＜0，此種情形不存在．
綜上所述，水渠的位置如圖7所示，

此時(shí)水渠與BC邊的交點(diǎn)到點(diǎn)B的距離是6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積、周長(zhǎng)、直角梯形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、“等分積周線”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，學(xué)會(huì)分類討論解決問題，屬于中考?jí)狠S題．