Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=45°，點E為BD邊中點，AE交BC于F．若BF=3，CF=5，則AD的長為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖，作DS∥BC交AF于S，作AH⊥BC于H，延長AD，BC交于G，于是得到∠SDE=∠FBE，根據等腰直角三角形的性質得到CD=CG，設CD=x，則CG=x，DG=$\sqrt{2}$x，BG=8+x，根據全等三角形的判定和性質得到SD=BF=3，根據平行線分線段成比例定理得到HG=6，于是得到結論．

解答 解：如圖，作DS∥BC交AF于S，作AH⊥BC于H，延長AD，BC交于G，
∴∠SDE=∠FBE，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAH=45°，
∴∠GAH=45°，
∴∠G=45°，
∵∠BCD=90°，
∴∠CDG=45°，
∴CD=CG，
設CD=x，則CG=x，DG=$\sqrt{2}$x，BG=8+x，
∴FG=x+5，
∴HG=AG=$\frac{8+x}{2}$，CH=$\frac{8+x}{2}$-x=$\frac{8-x}{2}$，
在△SED與△FEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠SDE=∠FBE}\\{EB=ED}\\{∠SED=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△SED≌△FEB，
∴SD=BF=3，
∵SD∥BC，DC∥AH，
∴$\frac{SD}{FG}$=$\frac{AD}{AG}$=$\frac{CH}{HG}$，
$\frac{3}{5+x}$=$\frac{\frac{8-x}{2}}{\frac{8+x}{2}}$，
∴x²=16，
∴x=4，
∴HG=6，
∴AG=6$\sqrt{2}$，
∴AD=6$\sqrt{2}$-4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．