Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)A（0，-2），B（1，0）兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，若△OBM的面積是2．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，且滿足△AMP是以AM為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象經(jīng)過(guò)A（0，-2），B（1，0）可得到關(guān)于b、k的方程組，進(jìn)而可得到一次函數(shù)的解析式，設(shè)M（p，q）作MD⊥x軸于點(diǎn)D，由△OBM的面積為2可求出q的值，將M（p，4）代入y=2x-2求出p的值，由M（3，4）在雙曲線$y=\frac{m}{x}$（m≠0）上即可求出m的值，進(jìn)而求出其反比例函數(shù)的解析式；
（2）作MD⊥x軸于D，分兩種情況：①過(guò)點(diǎn)M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點(diǎn)P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由銳角三角函數(shù)的定義可得出OP的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)A（0，-2）作AP⊥AM交x軸于點(diǎn)P，由MD⊥BP可求出∠MBD=∠ABO=∠PAO，再由銳角三角函數(shù)的定義可得出OP的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=kx+b過(guò)A（0，-2），B（1，0）兩點(diǎn)
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-2，
∴設(shè)M（p，q），作MD⊥x軸于點(diǎn)D
∵S_△OBM=2，
∴$\frac{1}{2}$OB•MD=2，
∴$\frac{1}{2}$q=2，
∴q=4，
∴將M（p，4）代入y=2x-2得4=2p-2，
∴p=3
∵M(jìn)（3，4）在雙曲線$y=\frac{m}{x}$（m≠0）上，
∴4=$\frac{m}{3}$，
∴m=12，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=$\frac{12}{x}$；

（2）作MD⊥x軸于D，
①如圖1，過(guò)點(diǎn)M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點(diǎn)P，
∵M(jìn)D⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=2，
∴在Rt△PDM中，$\frac{PD}{MD}$=2，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11或OP=PD-OD=8-3=5
∴當(dāng)PM⊥AM，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，0）．
②如圖2，過(guò)點(diǎn)A（0，-2）作AP⊥AM交x軸于點(diǎn)P，
∵M(jìn)D⊥BP，
∴∠MBD=∠ABO=∠PAO，
∴tan∠PAO=tan∠MBD=tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=2，
∴在Rt△POA中，$\frac{OP}{OA}$=2，
∴OP=4，
∴當(dāng)PA⊥AM，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)為用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．