Question

7．閱讀材料：“最值問題”是數(shù)學中的一類較具挑戰(zhàn)性的問題．其實，數(shù)學史上也有不少相關的故事，如下即為其中較為經典的一則：海倫是古希臘精通數(shù)學、物理的學者，相傳有位將軍曾向他請教一個問題--如圖1，從A點出發(fā)，到筆直的河岸l去飲馬，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢？海倫輕松地給出了答案：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′B 的值最�。�

解答問題：
（1）如圖2，正方形ABCD的面積為16，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線BD上有一點P，使PC+PE的和最小，則這個最小值為4．
（2）如圖3：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為$\sqrt{3}$．
（3）如圖4，已知菱形ABCD的邊長為6，∠DAB=60°．將此菱形放置于平面直角坐標系中，各頂點恰好在坐標軸上．現(xiàn)有一動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度，沿A→C的方向，向點C運動．當?shù)竭_點C后，立即以相同的速度返回，返回途中，當運動到x軸上某一點M時，立即以每秒1個單位的速度，沿M→B的方向，向點B運動．當?shù)竭_點B時，整個運動停止．為使點P能在最短的時間內到達點B處，則點M的坐標是什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質，點C關于BD的對稱點為點A，根據(jù)軸對稱-最短問題知識可知，則AE為PC+PE的最小值；
（2）根據(jù)菱形的性質，點B關于AC的對稱點為點D，根據(jù)軸對稱-最短問題知識可知，則DE為PB+PE的最小值，根據(jù)已知條件計算出DE即可；
（3）根據(jù)題意可知，當PB⊥AB時，點P能在最短的時間內到達點B處，求出點M的坐標即可．

解答 解：（1）根據(jù)正方形的性質可知，
點C關于BD的對稱點為點A，
∴PC+PE的和最小值為AE，
∵正方形ABCD的面積為16，∴AB=4，
∵△ABE是等邊三角形，∴AE=4，
∴PC+PE的和最小值為4；
（2）根據(jù)菱形的性質可知，
點B關于AC的對稱點為點D，
∴DE為PB+PE的最小值，
∵∠B=120°，∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∵E是AB的中點，所以DE⊥AB，
∵AB=2，∴AE=$\sqrt{3}$，
∴PB+PE的最小值是$\sqrt{3}$；
（3）使點P能在最短的時間內到達點B處，
∴當PB⊥AB時，符合題意，
∵∠DAB=60°，∴∠BAC=30°，又AB=6，
∴BM=2$\sqrt{3}$，
∵∠OBM=30°，BM=2$\sqrt{3}$，
∴OM=$\sqrt{3}$，
∴點M的坐標為（$\sqrt{3}$，0）

點評 本題考查的是四邊形知識的綜合運用，靈活運用軸對稱-最短問題是解題的關鍵，注意：正方形和菱形的對角線垂直且互相平分，即正方形和菱形不相鄰的兩點關于另一條對角線軸對稱．