Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D；
（1）如圖1，求證：AC平分∠DAB；
（2）如圖2，延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于G，AD交⊙O于M，連接MC，當(dāng)四邊形GCMB是平行四邊形時(shí)，求證：AM=2MD；
（3）如圖3，延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于G，若tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，BG=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，由AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，易證得OC∥AD，繼而證得AC平分∠DAB；
（2）由四邊形GCMB是平行四邊形，可得MC∥AG，即可證得四邊形OAMC是平行四邊形，則可得AG=3MC，且△DMC∽△DAG，繼而證得結(jié)論；
（3）首先連接BC，由（1）可得∠DAC=∠BAC，即可得$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，易證得△GCB∽△GAC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得CG與AG的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答 （1）證明：連接OC，
∵CD是⊙O切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB；

（2）證明：連接OC，由（1）得：OC∥AD，
∵四邊形GCMB是平行四邊形，
∴CM∥AG，CM=BG，
∴四邊形OAMC是平行四邊形，
∴MC=OA，
即MC=OA=OB=BG=$\frac{1}{3}$AG，
∵M(jìn)C∥AG，
∴△DMC∽△DAG，
∴$\frac{DM}{DA}$=$\frac{MC}{AG}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DM}{AM}$=$\frac{1}{2}$，
即AM=2MD；

（3）解：連接BC，
∵CD是⊙O切線，
∴∠GCB=∠GAC，
∵∠G是公共角，
∴△GBC∽△GCA，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{BG}{CG}$=$\frac{BC}{AC}$，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴tan∠DAC=tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵BG=5，
∴CG=2BG=10，
∴AG=2CG=20，
∴AB=AG-BG=15，
∴⊙O的半徑為：7.5．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．