Question

5．如圖甲，在△ABC中．∠ACB=90°．AC=4．BC=3．如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動．同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動．它們的速度均為每秒鐘1個單位長度．連接PQ，設(shè)運動時間為t秒鐘（0＜t＜4）．
（1）設(shè)△APQ的面積為S，當實數(shù)t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）在（1）的前提下．當S取得最大值時．把此時的△APQ沿射線AC以每秒鐘1個單位長度的速度平移，當點A平移至與點C重合時停止，寫出平移過程中，△APQ與△ABC的重疊部分面積y與平移時間x的函數(shù)解析式，并寫出對應(yīng)的x的取值范圍；
（3）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當四邊形PQP′C為菱形時，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）過點P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，從而求出AB，再根據(jù)$\frac{PH}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，得出PH=3-$\frac{3}{5}$t，則△AQP的面積為：$\frac{1}{2}$AQ•PH=$\frac{1}{2}$t（3-$\frac{3}{5}$t），最后進行整理即可得出答案；
（2）需要分類討論，當PQ在BC的左邊時，△APQ與△ABC的重疊部分面積y=S_△APQ，當PQ在BC的右邊時，△APQ與△ABC的重疊部分面積y=S_△A′P′C；
（3）連接PP′交QC于E，當四邊形PQP′C為菱形時，得出△APE∽△ABC，$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，求出AE=-$\frac{4}{5}$t+4，再根據(jù)QE=AE-AQ，QE=$\frac{1}{2}$QC得出-$\frac{9}{5}$t+4=-$\frac{1}{2}$t+2，再求t即可．

解答 解：（1）如答圖1，過點P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
∴$\frac{PH}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PH=3-$\frac{3}{5}$t，
∴△AQP的面積為：
S=$\frac{1}{2}$×AQ×PH=$\frac{1}{2}$×t×（3-$\frac{3}{5}$t）=-$\frac{3}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{15}{8}$，
∴當t為$\frac{5}{2}$秒時，S最大值為$\frac{15}{8}$cm²．

（2）①當0≤x＜$\frac{3}{2}$時，y=$\frac{15}{8}$；
②如答圖2，當$\frac{3}{2}$≤x≤4時，△A′P′C∽△A′PQ，則$\frac{A′C}{A′Q}$=$\frac{P′C}{PQ}$，即$\frac{4-x}{\frac{5}{2}}$=$\frac{P′C}{3-\frac{3}{5}×\frac{5}{2}}$，
解得P′C=$\frac{3}{5}$（4-x），
則y=$\frac{1}{2}$（4-x）×$\frac{3}{5}$（4-x）=$\frac{3}{10}$（4-x）²，
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15}{8}（0≤x＜\frac{3}{2}）}\\{\frac{3}{10}（4-x）^{2}（\frac{3}{2}≤x≤4）}\end{array}\right.$；

（3）如答圖3，連接PP′，PP′交QC于E，
當四邊形PQP′C為菱形時，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∴△APE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴AE=$\frac{AP•AC}{AB}$=$\frac{（5-t）×4}{5}$=-$\frac{4}{5}$t+4
QE=AE-AQ═-$\frac{4}{5}$t+4-t=-$\frac{9}{5}$t+4，
QE=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（4-t）=-$\frac{1}{2}$t+2，
∴-$\frac{9}{5}$t+4=-$\frac{1}{2}$t+2，
解得：t=$\frac{20}{13}$，
∵0＜$\frac{20}{13}$＜4，
∴當四邊形PQP′C為菱形時，t的值是$\frac{20}{13}$s．

點評 此題主要考查了四邊形綜合題，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式以及二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想進行解答．