Question

20．如圖，對稱軸為直線x=$\frac{7}{2}$的拋物線經(jīng)過點A（6，0）和B（0，4）
（1）求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；
（2）設(shè)點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由A、B的坐標(biāo)及對稱軸公式，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，化為頂點式可求得其頂點坐標(biāo)；
（2）由拋物線解析式可得出點E到x軸的距離，從而可表示出△OEA的面積，再利用平行四邊形的性質(zhì)可知S=2S_△OEA，從而可求得S與x的函數(shù)解析式，再根據(jù)點E在第四象限可知x應(yīng)在拋物線與x軸的兩個交點之間，從而可確定出x的取值范圍．

解答 解：
（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{c=4}\\{-\frac{2a}=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{14}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{25}{6}$，
∴頂點坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，-$\frac{25}{6}$）；

（2）∵點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4，
∴y＜0，則-y＞0，即點E到OA的距離為-y，
∵OA是平行四邊形OEAF的對角線，
∴S=2S_△OEA=2×$\frac{1}{2}$OA×（-y）=-6（$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4）=-4x²+28x-24，
在y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4中，令y=0，可得$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4=0，解得x=1或x=6，
∴點E的橫坐標(biāo)x的取值范圍為1＜x＜6．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用x表示出△OEA的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點不多，難度不大．