Question

如圖，二次函數(shù)y在y=-

1

2

x²+

5

2

x-2，其圖象坐標交于A，B，C點．
（1）在直線AC上方的拋物線上有一動點D，當三角形DCA面積最大時，求出點D的坐標；
（2）P是拋物線上的一動點，過點P作PM垂直x軸，垂足為M．設M的橫坐標為m，當1＜m＜4時，是否存在P點，使得以A、P、M為頂點的三角形OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）本題需先根據(jù)題意設出D點的橫坐標和D點的縱坐標，再過D作y軸的平行線交AC于E，再由題意可求得直線AC的解析式，即可表示出E點的坐標，從而得出結果即可；
（2）首先設出橫坐標和縱坐標，從而得出PA的解析式，再分2種情況進行討論，當

AM

PM

=

AO

OC

時，和

AM

PM

=

OC

OA

時，分別求出點P的坐標即可．

解答：解：（1）如圖，設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為-

1

2

x²+

5

2

x-2．
過D作y軸的平行線交AC于E．
當y=0，則0=-

1

2

x²+

5

2

x-2
解得：x₁=1，x₂=4，
當x=0，y=2，
故A（4，0），C（0，-2），
設直線AC的解析式為：y=kx+b，
則

4k+b=0 b=-2

，
解得：

k= 1 2 b=-2

，
則直線AC的解析式為：y=

1

2

x-2，
∴E點的坐標為（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

x²+

5

2

x-2，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=

1

2

DE•h+

1

2

DE•（4-h）=

1

2

DE•4，
∴S_△DAC=

1

2

（t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當t=2時，△DAC面積最大，
∴D（2，1）．

（2）如圖，設P點的橫坐標為m，
則P點的縱坐標為-

1

2

x²+

5

2

x-2，
當1＜m＜4時，AM=4-m，PM=-

1

2

x²+

5

2

x-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當

AM

PM

=

AO

OC

，
∵C在拋物線上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴

AM

PM

=

AO

OC

=2，
∴△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2）．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1）．
②當

AM

PM

=

OC

OA

時，△APM∽△CAO，即2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2．
解得m₁=4，m₂=5（均不合題意，舍去）
∴當1＜m＜4時，P（2，1）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點，主要考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．