Question

9．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，D為BC上一點，且BD=AB，連接AD，E是AC上一點，∠ABE=∠BDE且∠C+2∠EBC=90°．
（1）求證：DE²+BE²=DB²；
（2）已知DE=2，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）利用等量代換得出∠BDE=90°，利用勾股定理得出結(jié)論；
（2）作∠BAC的平分線交BE于點H，證得BH=EH=$\frac{1}{2}$BE，RT△ABE≌RT△BDE，進(jìn)一步得出結(jié)論即可．

解答 （1）證明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∵∠ABE=∠BDE，
∴∠BDE+∠EBC=90°，
∴∠BED=90°，
∴DE²+BE²=DB²．
（2）解：如圖，

作∠BAC的平分線交BE于點H，則∠BAC=2∠BAH，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∵∠C+2∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠BAH，
∵∠EBC+∠ABE=∠ABC=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠AHB=90°=∠BED，BH=EH=$\frac{1}{2}$BE，
在RT△ABH與RT△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠AHB=∠BED}\\{∠BAH=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴RT△ABH≌RT△BDE，
∴BH=DE=2，
∴BE=2BH=4．

點評 此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，搞清角與邊之間的數(shù)量關(guān)系解決問題．