Question

5．已知點P是△ABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點（Fermat point）．已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當∠APB=∠APC=∠BPC=120°時，P就是△ABC的費馬點．若點P是腰長為$\sqrt{2}$的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF=$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意首先畫出圖形，過點D作DM⊥EF于點M，過E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°就可以得到滿足條件的點P，根據(jù)特殊直角三角形才求出PE，PF，PM，DP的長，進而得出答案．

解答 解：如圖：等腰Rt△DEF中，DE=DF=$\sqrt{2}$，
過點D作DM⊥EF于點M，過E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°，
則EM=DM=1，
故cos30°=$\frac{EM}{EP}$，
解得：PE=PF=$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故DP=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則PD+PE+PF=2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點評 此題主要考查了解直角三角，正確畫出圖形進而求出PE的長是解題關(guān)鍵．