Question

3．如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDF，作點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，記為點(diǎn)G，連接DG．

（1）依題意在圖1中補(bǔ)全圖形；
（2）連接BD，EG，判斷BD與EG的位置關(guān)系并在圖2中加以證明；
（3）當(dāng)點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出∠EDG的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱畫出圖形即可；
（2）先利用旋轉(zhuǎn)判斷出點(diǎn)B，C，F(xiàn)在一條直線上，進(jìn)而利用軸對(duì)稱得出△DCG≌△DCF即可；
（3）先構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理即可表示出GM，DM即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）依題意補(bǔ)全圖形如圖1：


（2）結(jié)論：BD⊥EG．
證明：如圖2，BD，EG交于M，

∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠DAE=∠DCB=90°，
由旋轉(zhuǎn)可得△ADE≌△CDF，DE=DF，AE=CF
∴∠DCF=∠DAE=∠DCB=90°，
∴點(diǎn)B，C，F(xiàn)在一條直線上．
∵點(diǎn)G與點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱
∴△DCG≌△DCF，DG=DF，CG=CF
∴DE=DG，AE=CG，
∴BE=BG 
∴BD⊥EG于M．

（3）如圖3，
過(guò)G作GM⊥DE于M，
由（2）知，DE=DG，
設(shè)BE=x，
∴AE=CF=CG=BG=x，
∴AD=2x，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{（2x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴DG=$\sqrt{5}$x，
在Rt△BEG中，EG=$\sqrt{2}$x，
設(shè)DM=a，
∴EM=DE-DM=$\sqrt{5}$x-a，
在Rt△EMG中，MG²=EG²-EM²，
∴MG²=2x²-（$\sqrt{5}$x-a）²，
在Rt△DMG中，MG²=5x²-a²，
∴2x²-（$\sqrt{5}$x-a）²=5x²-a²，
∴a=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴MG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$x
在Rt△DMG中，tan∠EDG=$\frac{MG}{DM}$=$\frac{3}{4}$．
即：∠EDG的正切值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及對(duì)稱的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)得到相等的邊和相等的角，證明三角形全等，作出輔助線也是解決本題的關(guān)鍵．