Question

已知：△ABC中，CD⊥AB于點D，過D作DE∥AC，點G為ED中點，BG的延長線交AC于F，F(xiàn)為AC的中點，連接CG、FD．
（1）若∠BGE=∠CGE，求證：∠CEG=2∠CDE；
（2）若DE⊥BC，BE=2CE，F(xiàn)G=FC，探究∠GCE，∠DCG，∠ABF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）易證∠CGE=∠DGF和CG=FG，即可證明△CGE≌△FGD，可得∠CEG=∠FDG，易證∠CDF=∠CDE，即可求得∠CDE=

1

2

∠CEG，即可解題；
（2）根據(jù)∠CGE=∠CDE+∠DCG，∠BGE=∠BDE+∠ABF，即可求得∠CGB=∠DCG+∠ABF+90°，易證∠CGB=90°+∠GCE，即可解題．

解答：證明：（1）∵DE∥AC，
∴∠CGE=∠ACG，∠BGE=∠BFC，
∵∠CGE=∠BGE，∠BGE=∠DGF，
∴∠ACG=∠BFC，∠CGE=∠DGF，
∴CG=FG，
在△CGE和△FGD中，

CG=FG ∠CGE=∠DGF DG=GE

，
∴△CGE≌△FGD（SAS），
∴∠CEG=∠FDG，
∵DF是RT△ACD斜邊上中線，
∴∠CDF=∠FCD，
∵∠CDE=∠CF，
∴∠CDF=∠CDE，
∴∠CDE=

1

2

∠FDG=

1

2

∠CEG，
∴2∠CDE=∠CEG；
（2）∵∠CGE=∠CDE+∠DCG，∠BGE=∠BDE+∠ABF，
∴∠CGE+∠BGE=∠CDE+∠DCG+∠BDE+∠ABF，
即∠CGB=∠DCG+∠ABF+∠CDB=∠DCG+∠ABF+90°，①
∵∠CGB+∠CGF=180°，∠GCE+∠FCG=90°，∠FCG=∠CGF，
∴∠CGB=90°+∠GCE，②
由①②得：∠GCE=∠DCG+∠ABF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CGE≌△FGD是解題的關(guān)鍵．