Question

4．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD的延長線上，且EB=DF，連接EF，與AD交于點(diǎn)M，與AC交于點(diǎn)N，連接AE、AF．
（1）若AB=2，BE=1，求EF的長度；
（2）如圖1，若∠BAE=2∠CFE，求證：FN=NA+NE；
（3）如圖2，F(xiàn)P平分∠CFE交AC于點(diǎn)P，PG⊥EF于點(diǎn)G，探究AB、EF、PG之間的關(guān)系．（先寫出結(jié)論，再給出證明過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形ABCD的性質(zhì)，求得CE=2-1=1，CF=1+2=3，再根據(jù)勾股定理在Rt△CEF中，求得EF即可；
（2）先判定△AEF是等腰直角三角形，再在FE上截取FO=EN，判定△AON是等邊三角形，最后根據(jù)FN=FO+NO，得出FN=NE+NA；
（3）先作PH⊥CD于H，PQ⊥CB于Q，連接PE，判定Rt△PFH≌Rt△PFG（HL），Rt△PEQ≌Rt△PEG（HL），進(jìn)而得出QE=GE，F(xiàn)H=FG，最后根據(jù)EF=FG+GE=FH+QE=（CF-CH）+（CE-CQ）進(jìn)行推導(dǎo)即可得出結(jié)論：EF=2AB-2PG．

解答 解：（1）∵正方形ABCD中，AB=CD=2，BE=DF=1，
∴CE=2-1=1，CF=1+2=3，
∴Rt△CEF中，EF=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（2）∵正方形ABCD中，點(diǎn)F在CD的延長線上，
∴∠ADF=∠B=90°，AD=AB，
又∵EB=DF，
∴△ADF≌△ABE（SAS），
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，
又∵∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠DAF+∠DAE=90°，即∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
又∵∠ACD=45°，∠CNF=∠ENA，
∴∠CFE=∠EAN，
∴∠BAE=2∠CFE=2∠EAN，
又∵∠BAC=45°，
∴∠EAN=$\frac{1}{3}$∠BAC=15°，
∴∠ANM=∠AEF+∠EAN=45°+15°=60°，
如圖1，在FE上截取FO=EN，則△AFO≌△AEN（SAS），
∴AO=AN，
∴△AON是等邊三角形，
∴AN=ON，
∵FN=FO+NO，
∴FN=NE+NA；

（3）EF=2AB-2PG．
證明：如圖2，作PH⊥CD于H，PQ⊥CB于Q，連接PE，
又∵FP平分∠CFE，PG⊥EF，CP平分∠BCD，
∴PH=PG=PQ=CH=CQ，
又∵PE=PE，PF=PF，
∴Rt△PFH≌Rt△PFG（HL），Rt△PEQ≌Rt△PEG（HL），
∴QE=GE，F(xiàn)H=FG，
∴EF=FG+GE
=FH+QE
=（CF-CH）+（CE-CQ）
=（CD+DF-CH）+（CE-CQ）
=AB+DF-CH+CE-CQ
=AB+DF+CE-2PG
=AB+BE+CE-2PG
=AB+BC-2PG
=2AB-2PG．

點(diǎn)評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形以及等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形以及等邊三角形，解題時(shí)注意運(yùn)用線段之間的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)．