Question

【題目】如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸是直線，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，線段與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)，連接，探究在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段，有何數(shù)量關(guān)系？并證明所探究的結(jié)論；

（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為，求當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）；點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2），理由見解析；（3）或

【解析】

（1）先求出a、b的值，然后求出解析式，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；

（2）由題意，先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后證明，得到，結(jié)合勾股定理，即可得到答案；

（3）根據(jù)題意，可分為三種情況進(jìn)行或或，分別求出三種情況的值即可．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

∴．

又拋物線的對(duì)稱軸是直線，

∴，解得：．

∴拋物線的解析式為：．

令，

解得：，．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）線段、的數(shù)量關(guān)系為：．

證明：由拋物線的對(duì)稱性得線段的中點(diǎn)為，

如圖①，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

過點(diǎn)作軸于，則．

∵，∴，

∵，∴．

∴．

在與中，

∵，，

∴，

∴，

∴．

在中，由勾股定理得：，

∴．

（3）由，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

若為等腰三角形，可能有三種情形：

（I）若．如圖②所示：

連接交軸于點(diǎn)，則，

∵，

∴．

設(shè)，則．

在中，由勾股定理得：，

∴，

解得：，

∴，，

∴，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為；

令，則，

∴，即ON=2，

∴OF=，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

在Rt△OPF中，由勾股定理，得

,

∴，

∴．

（II）若．如圖③所示：

此時(shí)，

∴，

∴，

由（I）知，，，

在Rt△OPF中，由勾股定理，得

，

∴

∴．

（III）若．由拋物線對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)與原點(diǎn)重合．

∵，點(diǎn)在直線上方，與點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)相矛盾，

故此種情形不存在．