Question

15．如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，連接BE，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接DF，CF．
（1）如圖①，當(dāng)邊AD與邊AB重合時(shí)，求證：DF=CF，DF⊥CF；
（2）將△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖②位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎，判斷并說(shuō)明理由；
（3）如圖③，若∠BAE=135°，AC=2$\sqrt{2}$，AD=1，則CF的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{10}}{2}$（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據(jù)∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，進(jìn)而得出DF⊥BF；
（2）先過(guò)B作BG∥ED，交DF的延長(zhǎng)線于G，連接CG，CD，則∠DEF=∠GBF，根據(jù)ASA判定△DEF≌△GBF，進(jìn)而得出DE=GB=AD，且DF=GF，再根據(jù)角的和差關(guān)系得到∠DAC=∠CBG，進(jìn)而判定△ACD≌△BCG（SAS），從而得出CD=CG，∠BCG=∠ACD，最后判定△CDG是等腰直角三角形，根據(jù)F是DG的中點(diǎn)，即可得出CF=$\frac{1}{2}$DG=DF，CF⊥DF；
（3）延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=2$\sqrt{2}$，可以求出AB的值為4，進(jìn)而可以根據(jù)勾股定理可以求出DH為$\sqrt{10}$，再求出DF，由DF=CF，即可求得CF的值．

解答 解：（1）如圖1，∵∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，
∴DF=$\frac{1}{2}$BE，CF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理，∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF⊥CF；

（2）DF=CF，DF⊥CF仍成立．
理由：如圖2，過(guò)B作BG∥ED，交DF的延長(zhǎng)線于G，連接CG，CD，則∠DEF=∠GBF，
∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，
∴BF=EF，
在△DEF和△GBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠GBF}\\{EF=BF}\\{∠DFE=∠GFB}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△GBF（ASA），
∴DE=GB=AD，且DF=GF，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵△ABE中，∠BAE=180°-∠AEB-∠ABE，而∠BAC=∠EAD=45°，
∴∠DAC=∠BAE-∠BAC-∠EAD=（180°-∠AEB-∠ABE）-45°-45°=90°-∠AEB-∠ABE，
又∵∠ABE=∠ABC-CBE=45°-∠CBE，
∠AEB=∠AED-∠DEB=45°-∠DEB，
∴∠DAC=90°-（45°-∠DEB）-（45°-∠CBE）=∠DEB+∠CBE=∠GBE+∠CBE=∠CBG，
在△ACD和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BG}\\{∠DAC=∠GBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCG（SAS），
∴CD=CG，∠BCG=∠ACD，
又∵∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ACD+∠ACG=90°，
∴∠DCG=90°，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∵F是DG的中點(diǎn)，
∴CF=$\frac{1}{2}$DG=DF，CF⊥DF；

（3）如圖3所示，延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠ABC=45°，
∵∠BAE=135°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，且∠BAD=90°，
∴AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠DEF=∠HBF，
∵F是BE的中點(diǎn)，
∴EF=BF，
在△DEF和△HBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠HBF}\\{∠DFE=∠HFB}\\{EF=BF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△HBF（AAS），
∴ED=HB，DF=HF，
∵AC=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=4，
∵AD=1，
∴ED=BH=1，
∴AH=3，
在Rt△HAD中，由勾股定理得DH=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$，
同理可得CF=DF，
∴CF=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．解題時(shí)需要作輔助線，構(gòu)造全等三角形以及等腰直角三角形，運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理是解題的關(guān)鍵．