Question

10．在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點A（1，4），B（m，n）．
（1）求代數(shù)式mn的值；
（2）若二次函數(shù)y=（x-1）²的圖象經(jīng)過點B，求代數(shù)式m³n-2m²n+3mn-4n的值；
（3）若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與二次函數(shù)y=a（x-1）²的圖象只有一個交點，且該交點在直線y=x的下方，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標代入反比例函數(shù)求出k，再將點B的坐標代入計算即可；
（2）把mn的值代入，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征表示出n，然后代入整理即可得解；
（3）先求出反比例函數(shù)與直線的交點坐標，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征列不等式計算即可得解．

解答 解：（1）將A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=1×4=4，
所以，反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，
將點B的坐標代入得$\frac{4}{m}$=n，
所以mn=4；

（2）∵二次函數(shù)y=（x-1）²的圖象經(jīng)過點B，
∴n=（m-1）²=m²-2m+1，
又∵mn=4，
∴m³n-2m²n+3mn-4n=4m²-8m+12-4（m²-2m+1）=4m²-8m+12-4m²+8m-4=8；

（3）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
所以，反比例函數(shù)圖象與直線y=x的交點坐標為（2，2）（-2，-2），
∵反比例函數(shù)與拋物線的交點在直線下方，
∴拋物線開口向上時，a（2-1）²＜2，
解得a＜2，
∴0＜a＜2，
拋物線開口向下時，a（-2-1）²＜-2，
解得a＜-$\frac{2}{9}$，
綜上所述，a的取值范圍是0＜a＜2或a＜-$\frac{2}{9}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)與不等式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，難點在于（3）先求出反比例函數(shù)圖象與直線的交點坐標．