Question

19．如圖，在Rt△AOB中∠ABO=90°，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C（1，m）為OA的中點(diǎn)，一反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（2）連接OD，若OD平分∠AOB，求反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，根據(jù)∠ABO=90°得到CE∥AB，因?yàn)辄c(diǎn)C（1，m）為OA的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，所以O(shè)B=2OE=2，得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，把點(diǎn)C（1，m）代入得：k=m，得到y(tǒng)=$\frac{m}{x}$，x=2時(shí)，y=$\frac{m}{2}$，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，$\frac{m}{2}$）．
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AO于點(diǎn)F，先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，$\frac{m}{2}$），根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF=DB=$\frac{m}{2}$，根據(jù)點(diǎn)C（1，m）求出OC，得到OA=2OC=$\sqrt{{1}^{2}+{m}^{2}}$，根據(jù)S_△ABO=S_△OBD+S_△AOD，即可解答．

解答 解：（1）如圖1，
，
過點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，
∵∠ABO=90°
∴CE∥AB，
∵點(diǎn)C（1，m）為OA的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，
∴OB=2OE=2，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，
把點(diǎn)C（1，m）代入得：k=m，
∴y=$\frac{m}{x}$，
當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{m}{2}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，$\frac{m}{2}$）．
（2）如圖2，

過點(diǎn)D作DF⊥AO于點(diǎn)F，
∵OD平分∠AOB，
∴DF=BD，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，$\frac{m}{2}$），
∴DF=DB=$\frac{m}{2}$，
∵點(diǎn)C（1，m）
∴OC=$\sqrt{{1}^{2}+{m}^{2}}$，
∴OA=2OC=2$\sqrt{{1}^{2}+{m}^{2}}$，
∵S_△ABO=S_△OBD+S_△AOD，
即$\frac{1}{2}OB•AB=\frac{1}{2}OB•BD+\frac{1}{2}AO•DF$
$\frac{1}{2}×2•2m=\frac{1}{2}×2•\frac{m}{2}+\frac{1}{2}×2\sqrt{1+{m}^{2}}•\frac{m}{2}$
解得：m=2$\sqrt{2}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．