Question

1．如圖，在矩形ABCD中，P為AD上一點，連接BP，CP，過C作CE⊥BP于點E，連接ED交PC于點F．
（1）求證：△ABP∽△ECB；
（2）若點E恰好為BP的中點，且AB=3，AP=k（0＜k＜3）．
①求$\frac{PF}{PC}$的值（用含k的代數(shù)式表示）；
②若M、N分別為PC，EC上的任意兩點，連接NF，NM，當k=$\sqrt{2}$時，求NF+NM的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的想知道的∠A=∠ABC=90°，由余角的性質(zhì)得到∠APB=∠PBC，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AP}{AB}=\frac{BE}{BC}$，得到BP=$\sqrt{9+{k}^{2}}$，過P作PH⊥PD交DE于H，推出P，E．C，D四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠PDH=∠PCE=∠BCE=∠ABP，根據(jù)相似三角形的想知道的$\frac{PH}{PD}=\frac{AP}{AB}$，即可得到結(jié)論；②把k=$\sqrt{2}$代入$\frac{PF}{FC}=\frac{9-2}{18}$=$\frac{7}{18}$，過F作FG⊥BC于G交CE于N，反向延長交AD于H，則FH⊥AD，過N作NM⊥PC于M，根據(jù)線段公理得到NF+NM的最小值即為FG的長，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在矩形ABCD中，
∵∠A=∠ABC=90°，
∵CE⊥BP，
∴∠CEB=90°，
∴∠A=∠CEB，
∴∠APB+∠ABP=∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠APB=∠PBC，
∴△ABP∽△ECB；

（2）解：①∵△ABP∽△ECB，
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{BE}{BC}$，
∵BP=$\sqrt{9+{k}^{2}}$，E為BP的中點，
∴BE=$\frac{\sqrt{9+{k}^{2}}}{2}$，
∴BC=$\frac{9+{k}^{2}}{2k}$，
過P作PH⊥PD交DE于H，
∴PD=BC-AP=$\frac{9-{k}^{2}}{2k}$，
∵∠BEC=∠ADC=90°，
∴P，E．C，D四點共圓，
∴∠PDH=∠PCE=∠BCE=∠ABP，
∴△APB∽△PHD，
∴$\frac{PH}{PD}=\frac{AP}{AB}$，
∴PH=$\frac{9-{k}^{2}}{6}$，
∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{PF}{FC+PF}=\frac{9-{k}^{2}}{27-{k}^{2}}$；
②當k=$\sqrt{2}$時，$\frac{PF}{FC}=\frac{7}{25}$，
過F作FG⊥BC于G交CE于N，反向延長交AD于H，
則FH⊥AD，過N作NM⊥PC于M，
∴NF+NM的最小值即為FG的長，
∴$\frac{FG}{FH}$=$\frac{FC}{PF}$=$\frac{25}{7}$，
∴FG=$\frac{54}{25}$，
即NF+NM的最小值是$\frac{54}{25}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓，勾股定理，最短距離問題，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵，