Question

（10分）如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊，以AC中點(diǎn)O為圓心， AC長(zhǎng)為半徑作⊙O，交BC于E，過(guò)O作OD∥BC交⊙O于D，連結(jié)AE、AD、DC．

（1）求證：D是的中點(diǎn)；

（2）求證：∠DAO＝∠B＋∠BAD；

（3）若 ，且AC＝4，求CF的長(zhǎng).

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）證明見(jiàn)試題解析；（3）2．

【解析】

試題分析：（1）由AC是⊙O的直徑，即可求得OD∥BC，又由AE⊥OD，即可證得D是的中點(diǎn)；

（2）首先延長(zhǎng)OD交AB于G，則OG∥BC，可得OA=OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）由AO=OC，S△OCD=S△ACD，即可得，又由△ACD∽△FCE，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得CF的長(zhǎng)．

試題解析：（1）∵AC是⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，

∵OD∥BC，∴AE⊥OD，∴D是的中點(diǎn)；

（2）如圖，延長(zhǎng)OD交AB于G，則OG∥BC，∴∠AGD=∠B，

∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，

又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）∵AO=OC，∴S△OCD=S△ACD，

∵，∴，

∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，∴△ACD∽△FCE，

∴，即：，∴CF=2．

考點(diǎn)：1．圓周角定理；2．垂徑定理；3．相似三角形的判定與性質(zhì)．