Question

7．已知．Rt△ABC≌Rt△EBD，CD交AE于F．
（1）如圖1，當(dāng)Rt△ABC和Rt△EBD均為等腰直角三角形時，若點D落在邊AB上，猜想線段AF與線段EF的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，線段AF、EF的數(shù)量關(guān)系保持不變嗎？如果不變，請證明，如果發(fā)生改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=BD，AB=BE，∠ABC=∠ABE=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠BCD=∠BDC=$\frac{180°-45°}{2}$，等量代換得到∠FAD=∠ADF，由等腰三角形的判定得到AF=DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）連接BF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=BE，CB=BD，∠CBA=∠DBE，根據(jù)角的和差得到∠CBD=∠ABE，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDB=$\frac{180°-∠CBD}{2}$，∠BEA=$\frac{180°-∠ABE}{2}$，推出B，E，D，F(xiàn)四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠BFE=∠BDE=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）AF=EF，
理由：∵Rt△ABC≌Rt△EBD，
∴BC=BD，AB=BE，∠ABC=∠ABE=45°，
∴∠BAE=∠BCD=∠BDC=$\frac{180°-45°}{2}$，
∵∠ADF=∠BDC，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=DF，
∵∠ADE=90°，
∴∠FDE=∠FED，
∴EF=DF，
∴AF=EF；

（2）連接BF，
∵Rt△ABC≌Rt△EBD，
∴AB=BE，CB=BD，∠CBA=∠DBE，
∴∠CBD=∠ABE，
∴∠CDB=$\frac{180°-∠CBD}{2}$，∠BEA=$\frac{180°-∠ABE}{2}$，
∴∠CDB=∠BEA，
∴B，E，D，F(xiàn)四點共圓，
∴∠BFE=∠BDE=90°，
∴BF⊥AE，
∴AF=EF．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練則各定理是解題的關(guān)鍵．