Question

12．在⊙O中，弦AB=BC=CA，D為$\widehat{BC}$上一點．（不與點B，C重合），連接AD，BD，CD
（1）如圖①，若點D是$\widehat{BC}$的中點．結論：AD=BD+CD 是否成立？寫出判斷不用證明；
（2）如圖②，若點D在$\widehat{BC}$上移動，結論：AD=BD+CD是否成立？寫出判斷給出證明；
（3）若BC=3，在（2）的條件下，求BD+CD的取值范圍（直接寫出結果即可）

Answer 1

分析 （1）設圓O的半徑為R，連接BO、CO，由AB=BC=CA，所以△ABC為等邊三角形，再證明△BOD與△COD為等邊三角形，所以BD=DC=R，由AD=2R，所以BD+DC=AD．
（2）如圖2，延長BD至E點使得CD=DE，證明△ACD≌△BCE（SAS），即可得到AD=BE=BD+DE．
（3）在（2）的條件下，3＜BD+DE≤2$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）設圓O的半徑為R，連接BO、CO，

∵AB=BC=CA，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵點D是$\widehat{BC}$的中點，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD與△COD為等邊三角形，
∴BD=DC=R，
∵AD=2R，
∴BD+DC=AD．
（2）如圖2，延長BD至E點使得CD=DE，

由圖2可知∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°，△CDE為等邊三角形，
∴CD=CE=DE；
∵∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE=BD+DE．
（3）在（2）的條件下，
由圓周角定理可得：∠DBC=∠DAC=30°，∠BCD=∠BAD=30°，
∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°，
∴BE=2CE，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²
3²+CE²=（2CE）²
解得：CE=$\sqrt{3}$，
則BE=2$\sqrt{3}$，
∴BC+CD=BD+DE=BE=2$\sqrt{3}$，
由三角形兩邊之和大于第三邊，
∴BD+DE＞3，
∴3＜BD+DE≤2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的性質與判定定理，解決本題的關鍵是證明三角形全等．