Question

16．如圖，P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF．給出以下4個(gè)結(jié)論：
①△FPD是等腰直角三角形；
②AP=EF；
③AD=PD；
④∠PFE=∠BAP．
其中，所有正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①②
• B． ①④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 用正方形的性質(zhì)和垂直的定義判斷出四邊形PECF是矩形，從而判定②正確；
直接用正方形的性質(zhì)和垂直得出①正確，
利用全等三角形和矩形的性質(zhì)得出④正確，
由點(diǎn)P是正方形對(duì)角線上任意一點(diǎn)，說(shuō)明AD和PD不一定相等，得出③錯(cuò)誤．

解答 解：如圖，

∵P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上任一點(diǎn)，
∴PA=PC，∠C=90°，
∵過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠DFP=∠PFC=∠C=90°，
∴四邊形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴PA=EF，故②正確，
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，
∵∠PFC=∠C=90°，
∴PF∥BC，
∴∠DPF=45°，
∵∠DFP=90°，
∴△FPD是等腰直角三角形，故①正確，
在△PAB和△PCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△PCB，
∴∠BAP=∠BCP，
在矩形PECF中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，
∴∠PFE=∠BAP．故④正確，
∵點(diǎn)P是正方形對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，
∴AD不一定等于PD，
只有∠BAP=22.5°時(shí)，AD=PD，故③錯(cuò)誤，
故選C

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，解本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形PECF是矩形．