Question

4．在等邊△ABC中，D為AB上一點，連接CD，E為CD上一點，∠BED=60°．
（1）延長BE交AC于F，求證：AD=CF；
（2）若$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{3}$，連接AE，BE，求$\frac{AE}{BE}$的值；
（3）若E為CD的中點，直接寫出$\frac{AD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ACD≌△CBF，即可解決問題．
（2）如圖2中，延長BE交AC于F，作DM⊥AC于M．只要證明△AEB∽△FDB，推出$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{DB}$，設(shè)AD=2a，BD=3a，則CF=AD=2a，BD=AF=3a，在Rt△AMD中，AM=$\frac{1}{2}$AD=a，DM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$a，F(xiàn)N=2a，可得DF=$\sqrt{F{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，延長即可解決問題．
（3）如圖3中，延長BE交AC于F，作DM∥BF交AC于M，設(shè)AD=a，DB=b．由（1）可知，CF=AD=a，AF=BD=b，由EF∥DM，DE=CE，推出CF=FM=a，AM=b-a，由DM∥BF，推出$\frac{AM}{FM}$=$\frac{AD}{BD}$，推出$\frac{b-a}{a}$=$\frac{a}$，即a²+ab-b²=0，即（$\frac{a}$）²+$\frac{a}$-1=0，解方程求出$\frac{a}$即可解決問題

解答 （1）證明：如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，
∴CA=BC，∠A=∠BCF=60°，
∵∠DEB=60°=∠CBE+∠BCE，∠BCE+∠ACD=60°，
∴∠CBF=∠ACD，
在△ACD和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCF}\\{AC=CB}\\{∠ACD=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBF，
∴AD=CF．

（2）解：如圖2中，延長BE交AC于F，作DM⊥AC于M．

∵∠DEB=∠BAF=60°，∠DBE=∠ABF，
∴△DEB∽△FAB，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BD}{FB}$，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{AB}{BF}$，
∴△AEB∽△FDB，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{DB}$，
設(shè)AD=2a，BD=3a，則CF=AD=2a，BD=AF=3a，
在Rt△AMD中，AM=$\frac{1}{2}$AD=a，DM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$a，F(xiàn)N=2a，
∴DF=$\sqrt{F{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{BD}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

（3）解：如圖3中，延長BE交AC于F，作DM∥BF交AC于M，設(shè)AD=a，DB=b．

由（1）可知，CF=AD=a，AF=BD=b，
∵EF∥DM，DE=CE，
∴CF=FM=a，AM=b-a，
∵DM∥BF，
∴$\frac{AM}{FM}$=$\frac{AD}{BD}$，
∴$\frac{b-a}{a}$=$\frac{a}$，
∴a²+ab-b²=0，
∴（$\frac{a}$）²+$\frac{a}$-1=0，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（舍棄），
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形或全等三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．