Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（0，-2$\sqrt{3}$），C（4，0），其中對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，若△ABM為等腰三角形，則符合題意的點(diǎn)M有5個(gè)；
（3）點(diǎn)P是直線x=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠APB不小于60°，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)P的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線經(jīng)過A（-2，0），C（4，0）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），把B（0，-2$\sqrt{3}$）代入得a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由此即可解決問題．
（2）如圖1中，當(dāng)AM=AB時(shí)，對(duì)稱軸時(shí)有兩個(gè)點(diǎn)滿足條件M₁與M₂，當(dāng)BM=BA時(shí)，對(duì)稱軸上也有兩個(gè)點(diǎn)滿足條件M₃，M₄，大部分MA=MB時(shí)，只有一個(gè)點(diǎn)滿足條件M₅．所以滿足條件的點(diǎn)有5個(gè)，
（3）由tan∠OAB=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，推出∠OAB=60°，∠ABO=30°，推出AB=2OA=4，設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)G（2，0），則△ABG是等邊三角形，作△ABG的外接圓交直線x=2于K點(diǎn)，由∠AKB=∠AG′B=60°，推出當(dāng)點(diǎn)P在線段GK上時(shí)，∠APB不小于60°，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（-2，0），C（4，0）
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），把B（0，-2$\sqrt{3}$）代入得a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+2）（x-4），即y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-2$\sqrt{3}$．
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-1）²-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）．

（2）如圖1中，當(dāng)AM=AB時(shí)，對(duì)稱軸時(shí)有兩個(gè)點(diǎn)滿足條件M₁與M₂，當(dāng)BM=BA時(shí)，對(duì)稱軸上也有兩個(gè)點(diǎn)滿足條件M₃，M₄，大部分MA=MB時(shí)，只有一個(gè)點(diǎn)滿足條件M₅．所以滿足條件的點(diǎn)有5個(gè)，
故答案為5．


（3）如圖2中，

∵tan∠OAB=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=60°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)G（2，0），則△ABG是等邊三角形，作△ABG的外接圓交直線x=2于K點(diǎn)，
∵∠AKB=∠AG′B=60°，
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段GK上時(shí)，∠APB不小于60°，
易知△ABG的外接圓的圓心坐標(biāo)為（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），設(shè)K（2，m），
則有$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{{2}^{2}+（m+\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$，
解得：m=0或-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴滿足條件的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)P的取值范圍-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$≤m≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思考思考問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線（構(gòu)造輔助圓）解決問題，屬于中考?jí)狠S題．