Question

4．在△ABC中，∠A、∠B滿足|sinA-$\frac{1}{2}$|+（sinB-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）²=0，求：
（1）∠C的大��；
（2）若AC=12，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由絕對值和偶次方的非負(fù)性質(zhì)和三角函數(shù)求出∠A=30°，∠B=45°，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠C的度數(shù)；
（2）作CD⊥AB于D，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出CD=$\frac{1}{2}$AC=6，證出△BCD是等腰直角三角形，由勾股定理得出BC=$\sqrt{2}$CD=6$\sqrt{2}$即可．

解答 解：（1）∵|sinA-$\frac{1}{2}$|+（sinB-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）²=0，
∴sinA-$\frac{1}{2}$=0，sinB-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=0，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，sinB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°；
（2）作CD⊥AB于D，如圖所示，
∵AC=12，∠A=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=6，
∵∠B=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD=6，BC=$\sqrt{2}$CD=6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形、絕對值和偶次方的非負(fù)性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；本題難度適中，作出輔助線是解決問題（2）的關(guān)鍵．