Question

8．如圖，△ABC，∠C=90°，AC=BC=a，在△ABC中截出一個(gè)正方形A₁B₁C₁D₁，使點(diǎn)A₁，D₁分別在AC，BC邊上，邊B₁C₁在AB邊上；在△BC₁D₁在截出第二個(gè)正方形A₂B₂C₂D₂，使點(diǎn)A₂，D₂分別在BC₁，D₁C₁邊上，邊B₂C₂在BD₁邊上；…，依此方法作下去，則第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）ⁿa．

Answer 1

分析 設(shè)正方形A₁B₁C₁D₁的邊長(zhǎng)為x，利用△CA₁D₁和△AA₁B₁都是等腰直角三角形得到A₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，AA₁=$\sqrt{2}$x，則$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$x=a，解得x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，于是得第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，運(yùn)用同樣的方法可得第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）²a，于是根據(jù)指數(shù)與序號(hào)的關(guān)系可得第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）ⁿa．

解答 解：設(shè)正方形A₁B₁C₁D₁的邊長(zhǎng)為x，
∵△CA₁D₁和△AA₁B₁都是等腰直角三角形，
∴A₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，AA₁=$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$x=a，解得x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，
即第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，
設(shè)正方形A₂B₂C₂D₂的邊長(zhǎng)為y，
∵△C₂D₁D₂和△C₁A₂D₂都是等腰直角三角形，
∴C₁D₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，D₁D₂=$\sqrt{2}$y，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\sqrt{2}$y=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，解得y=（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）²a，
即第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）²a，
同理可得第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）³a，
∴第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）ⁿa．
故答案為（$\frac{\sqrt{2}}{3}$）ⁿa．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，靈活應(yīng)用等腰直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行幾何計(jì)算．