Question

4．周長(zhǎng)與面積（數(shù)值）相等的直角三角形中，R和r分別表示外接圓與內(nèi)切圓的半徑的長(zhǎng)，則（　　）

• A． r是定值
• B． R是定值
• C． $\frac{R}{r}$是定值
• D． R+r是定值

Answer 1

分析 設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，根據(jù)周長(zhǎng)和面積相等得a+b+c=$\frac{1}{2}$ab，根據(jù)勾股定理得a²+b²=c²，
進(jìn)行變形得4（a+b+c）=（a+b+c）（a+b-c），則a+b-c=4，由直角三角形外接圓直徑是斜邊，圓心是斜邊的中點(diǎn)，所以直角三角形外接圓半徑R=$\frac{1}{2}$c，內(nèi)切圓的半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$=2，從而得出結(jié)論：r是定值．

解答 解：設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a＜b＜c，則a²+b²=c²，
由題意得：a+b+c=$\frac{1}{2}$ab，
∴c²=（a+b）²-2ab=（a+b）²-4（a+b+c），
∴4（a+b+c）=（a+b）²-c²=（a+b+c）（a+b-c），
∴a+b-c=4，
直角三角形外接圓半徑R=$\frac{1}{2}$c，內(nèi)切圓的半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$=2，
故r是定值，由于R=$\frac{1}{2}$c，所以選項(xiàng)B、C、D都不正確，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形的內(nèi)切圓和外接圓，掌握直角三角形內(nèi)切圓和外接圓半徑計(jì)算公式是關(guān)鍵；同時(shí)本題還運(yùn)用了完全平方式和平方差公式對(duì)勾股定理得出的等式進(jìn)行變形，最后發(fā)現(xiàn)：周長(zhǎng)與面積（數(shù)值）相等的直角三角形中，內(nèi)切圓的半徑r是定值．