Question

2．在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A（8，0）與點B（6，8），與x軸的另一個交點為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D在對稱軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC；
①求點D的坐標；
②點F是OB的中點，點M是直線BD的一個動點，且點M與點B不重合，當∠BMF=$\frac{1}{3}$∠MFO時，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點A、B的坐標代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；
（2）①由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x軸，點B與點D縱坐標相同，解一元二次方程求出點D的坐標；
（3）點M在點B的左右兩側(cè)均有可能，需要分類討論．綜合利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，求出線段BM的長度，即可得到點M的坐標．

解答 解：（1）把A（8，0）、B（6，8）分別代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{64+8b+c=0}\\{36+6b+c=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-18}\\{c=80}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是：y=x²-18x+80；

（2）①當∠BDA=∠DAC時，BD∥x軸．
∵B（6，8），
∴把y=8代入y=x²-18x+80，得
8=x²-18x+80，
整理，得
x²-18x+72=0，
解得x₁=6（舍去），x₂=12．
故D（12，8）；
②∵O（0，0），B（6，8），F(xiàn)為OB的中點，
∴F（3，4）．
過點F作FN⊥直線BD于點N，則FN=4，BN=3．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{N}^{2}+F{N}^{2}}$=5．
∵∠BMF=$\frac{1}{3}$∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）當點M位于點B右側(cè)時．
在直線BD上點B左側(cè)取一點G，使BG=BF=5，連接FG，則GN=BG-BN=2，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG=$\sqrt{G{N}^{2}+F{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵BG=BF，
∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，
又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，
∴$\frac{GM}{GF}$=$\frac{GF}{GB}$，即 $\frac{2+BM}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BM=2，
此時M（8，8）；
（II）當點M位于點B左側(cè)時．
設(shè)BD與y軸交于點K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，
∴KF=$\frac{1}{2}$OB=FB=5，
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF=∠MFK，
∴MK=KF=5，
∴BM=MK+BK=5+6=11，
此時M（-5，8）．
綜上所述，點M的坐標是（8，8）或（-5，8）．

點評 本題是中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四邊形、勾股定理等知識點．難點在于第（3）問，滿足條件的點M可能有兩種情形，需要分類討論，分別計算，避免漏解．