Question

14．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DF．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=4：1，寫出求DE長(zhǎng)的思路．

Answer 1

分析 （1）連接OD，直接利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，進(jìn)而得出答案；
（2）首先證明證明△ABC是等腰直角三角形；其次其次AC的長(zhǎng)；再證明ACD∽△AEC，得到AC²=AD•AE；最后由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE的長(zhǎng)．

解答 解：（1）證明：連接OD．
∵OD=CD，
∴∠ODC=∠OCD．
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，
∴DF=CF．
∴∠FDC=∠FCD．
∴∠FDO=∠FCO．
又∵AC⊥CE，
∴∠FDO=∠FCO=90°．
∴DF是⊙O的切線；                     
（2）①由DB平分∠ADC，AC為⊙O的直徑，證明△ABC是等腰直角三角形；
②由AB=a，求出AC的長(zhǎng)度為$\sqrt{2}a$；
③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，證明△ACD∽△AEC，得到AC²=AD•AE；
④設(shè)DE為x，由AD：DE=4：1，求出DE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$a．
解：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=a，
∴AC=$\sqrt{2}$a，
∵∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，
∴△ACD∽△AEC，
∴AC：AE=AD：AC，
∴AC²=AD•AE，
設(shè)DE為x，
∵AD：DE=4：1，
∴AD=4x，
∴（$\sqrt{2}$a）²=20x²，
解得x=$\frac{\sqrt{10}}{10}$a．
即DE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$a．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的切線的判定以及性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判斷和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，結(jié)合圓的性質(zhì)和已知條件證明△ACD∽△AEC是解題關(guān)鍵．