Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y=mx²+4x+1．
（1）當(dāng)拋物線C經(jīng)過點(diǎn)A（-5，6）時(shí)，求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線y=-x+1與直線y=x+3關(guān)于拋物線C的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求m的值；
（3）若拋物線C：y=mx²+4x+1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在-1和0之間（不包括-1和0），結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（-5，6）代入拋物線y=mx²+4x+1求出m的值，即可得出拋物線的表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先求出直線y=-x+1與直線y=x+3的交點(diǎn)，即可得出其對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程求出m的值即可；
（3）根據(jù)拋物線C：y=mx²+4x+1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在-1和0之間可知當(dāng)x=-1時(shí)，y＞0，且△≥0，求出m的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵拋物線C：y=mx²+4x+1經(jīng)過點(diǎn)A（-5，6），
∴6=25m-20+1，解得m=1，
∴拋物線的表達(dá)式為y=x²+4x+1=（x+2）²-3，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3）；

（2）∵直線y=-x+1與直線y=x+3的交點(diǎn)為（-1，2），
∴兩直線的對(duì)稱軸為直線x=-1．
∵直線y=-x+1與直線y=x+3關(guān)于拋物線C的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴-$\frac{4}{2m}$=-1，解得m=2；

（3）∵拋物線C：y=mx²+4x+1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在-1和0之間，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y＞0，且△≥0，即$\left\{\begin{array}{l}m-4+1＞0\\△=16-4m≥0\end{array}\right.$，解得3＜m≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．