Question

10．已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，點M在對角線BD上，點N為射線BC上一動點，連接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，當DMN是等腰三角形，線段BN的長是25，40，$\frac{125}{8}$．

Answer 1

分析 分三種情形討論求解即可．

解答 解：①如圖1中，當NM=ND時，
∴∠NDM=∠NMD，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠BDN=∠BND，
∴BD=BN=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=25．
②如圖2中，當DM=DN時，易知M與B重合，此時BC=CN=20，BN=40，
③如圖3中，當MN=MD時，易證BN=DN，設BN=DN=x，
在Rt△DNC中，∵DN²=CN²+CD²，
∴x²=（20-x）²+15²，
∴x=$\frac{125}{8}$，
故答案為25，40，$\frac{125}{8}$．

點評 本題考查矩形的性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解．