Question

18．如圖1所示，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（5，0）兩點，與y軸交于C點，D為拋物線的頂點，E為拋物線上一點，且C、E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，分別作直線AE、DE．

（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在圖1中，直線DE上有一點Q，使得△QCO≌△QBO，求點Q的坐標；
（3）如圖2，直線DE與x軸交于點F，點M為線段AF上一個動點，有A向F運動，速度為每秒2個單位長度，運動到F處停止，點N由F處出發(fā)，沿射線FE方向運動，速度為每秒$\sqrt{5}$個單位長度，M、N兩點同時出發(fā)，運動時間為t秒，當M停止時點N同時停止運動坐標平面內(nèi)有一個動點P，t為何值時，以P、M、N、F為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形．請直接寫出t值．

Answer 1

分析 （1）直接利用交點式寫出拋物線的解析式；
（2）如圖1，利用配方法得到D（2，9），拋物線的對稱軸為直線x=2，再確定C（0，5），則E（4，5），接著利用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式為y=-2x+13，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠COQ=∠BOQ，所以點Q為第一象限角平分線上的點，最后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+13}\end{array}\right.$得Q點的坐標；
（3）如圖2，對稱軸交x軸于點H，先確定DH=9，F(xiàn)H=$\frac{9}{2}$，DF=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，AF=$\frac{15}{2}$，AM=2t，F(xiàn)N=$\sqrt{5}$t，則FM=$\frac{15}{2}$-2t，分類討論：當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM、FN為菱形的兩鄰邊，則FN=FM，即$\sqrt{5}$t=$\frac{15}{2}$-2t；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FN為菱形對角線，連接MP交FN于Q，利用菱形的性質(zhì)得FQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，再通過得△FQH∽△FHD得到$\frac{\sqrt{5}}{2}$t：$\frac{9}{2}$=（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM為菱形對角線，NP與MF相交于K，如圖3，利用菱形的性質(zhì)得FK=$\frac{1}{2}$（$\frac{15}{2}$-2t），再通過△FKN∽△FHD得到$\frac{1}{2}$（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠NMF=90°，通過△FMN∽△FHD得到（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠MNF=90°，通過△FNM∽△FHD得到（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9}{2}$，然后分別解關(guān)于t的方程可確定滿足條件的t的值．

解答 解：（1）拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-5），即y=-x²+4x+5；
（2）如圖1，y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，則D（2，9），拋物線的對稱軸為直線x=2，
當x=0時，y=-x²+4x+5=5，則C（0，5），
∵C、E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴E（4，5），
設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，
把D（2，9），E（4，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=9}\\{4m+n=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=13}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=-2x+13，
∵△QCO≌△QBO，
∴∠COQ=∠BOQ，
∴點Q為第一象限角平分線上的點，
即OQ的解析式為y=x，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+13}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{13}{3}}\\{y=\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，
∴Q點的坐標為（$\frac{13}{3}$，$\frac{13}{3}$）；
（4）如圖2，對稱軸交x軸于點H，DH=9，F(xiàn)H=$\frac{9}{2}$，DF=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，
當y=0時，-2x+13=0，解得x=$\frac{13}{2}$，則F（$\frac{13}{2}$，0），
∴AF=$\frac{13}{2}$-（-1）=$\frac{15}{2}$，
AM=2t，F(xiàn)N=$\sqrt{5}$t，則FM=$\frac{15}{2}$-2t，
當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM、FN為菱形的兩鄰邊，則FN=FM，即$\sqrt{5}$t=$\frac{15}{2}$-2t，解得t=$\frac{15\sqrt{5}-30}{2}$；
當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FN為菱形對角線，連接MP交FN于Q，則PM與NQ互相垂直平分，F(xiàn)Q=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，
易得△FQH∽△FHD，
∴FQ：FH=FM：FD，即$\frac{\sqrt{5}}{2}$t：$\frac{9}{2}$=（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，解得t=$\frac{5}{3}$；
當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM為菱形對角線，NP與MF相交于K，如圖3，則MF與NP互相垂直平分，F(xiàn)K=$\frac{1}{2}$MF=$\frac{1}{2}$（$\frac{15}{2}$-2t），
易得△FKN∽△FHD，
∴FK：FH=FN：FD，即$\frac{1}{2}$（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，解得t=$\frac{15}{8}$；
當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠NMF=90°，
易得△FMN∽△FHD，
∴FM：FH=FN：FD，即（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，解得t=$\frac{5}{2}$；
當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠MNF=90°，
易得△FNM∽△FHD，
∴FM：FD=FN：FH，即（$\frac{15}{2}$-2t）：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$=$\sqrt{5}$t：$\frac{9}{2}$，解得t=$\frac{15}{14}$，
綜上所述，t的值為$\frac{15\sqrt{5}-30}{2}$或$\frac{5}{3}$或$\frac{15}{8}$或$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{14}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式；會利用相似比列方程；理解坐標與圖形的性質(zhì)；會利用分類討論的數(shù)學解決數(shù)學問題．