Question

6．在△ADE中，∠E=22°，延長AD至點B，使得BD=AD，過B點作BC⊥AE，垂足點C，線段BC交邊DE于點F，且EF=AB，求∠ADE．

Answer 1

分析 取EF中點G，連結CD、CG．根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，CG=EG=FG=$\frac{1}{2}$EF，由EF=AB，得到CG=CD，那么∠CDG=∠CGD．再根據等邊對等角的性質以及三角形外角的性質求出∠GCE=∠E=22°，∠CGD=∠GCE+∠E=44°，∠CDG=∠CGD=44°，∠ACD=∠CDG+∠E=44°+22°=66°，∠A=∠ACD=66°，然后根據三角形內角和定理得到∠ADE=180°-∠A-∠E=92°．′

解答 解：如圖，取EF中點G，連結CD、CG．
∵BC⊥AE，垂足點C，
∴∠ACB=∠ECF=90°，
∵BD=AD，EF中點G，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，CG=EG=FG=$\frac{1}{2}$EF，
∵EF=AB，
∴CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD．
∵CG=EG，
∴∠GCE=∠E=22°，
∴∠CGD=∠GCE+∠E=44°，
∴∠CDG=∠CGD=44°，
∴∠ACD=∠CDG+∠E=44°+22°=66°．
在△ACD中，∵CD=AD，
∴∠A=∠ACD=66°，
∴∠ADE=180°-∠A-∠E=180°-66°-22°=92°．

點評 本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，難度適中．根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半作出輔助線構造等腰三角形CDG是解題的關鍵．