Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在x軸、y軸上，且OA、OB的長滿足方程x²-16x+64=0．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)A翻折落在線段OB的中點(diǎn)C處，折痕交OA于點(diǎn)D，交斜邊于點(diǎn)E，求直線DE的解析式；
（3）在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，是否存在點(diǎn)F使點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）解方程可求得OA=OB=8，可求得A、B坐標(biāo)；
（2）設(shè)DE交y軸于點(diǎn)M，利用勾股定理分別求得D、M的坐標(biāo)，可求得DE的解析式；
（3）可先求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，分F點(diǎn)在x軸上方和下方分別討論，在x軸上方時利用平行線的交點(diǎn)可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，在x軸下方時可求對角線和過A點(diǎn)平行于x軸的直線的交點(diǎn)可求得F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-16x+64=0可知方程的兩根為x=8，
∴OA=OB=8，
∴A為（8，0），B為（0，8）；
（2）∵點(diǎn)A翻折落在線段OB的中點(diǎn)C處，
∴DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
設(shè)OD為x，則DA=DC=OA-AD=8-x，
又∵C為OB中點(diǎn)，
∴OC=4，
在Rt△OCD中，由勾股定理可得（8-x）²=4²+x²，解得x=3，
∴D為（3，0），
設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)M，設(shè)M為（0，y），連接MA，如圖1，
則OM=-y，且MA=MC=4-y，
在Rt△OAM中，由勾股定理可得（4-y）²=y²+8²，解得y=-6，
∴M為（0，-6），
設(shè)直線DE為y=kx+b，
把D、M坐標(biāo)代入可求得k=2，b=-6，
∴直線DE解析式為y=2x-6；

（3）設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，
把A、B坐標(biāo)代入可求得m=-1，n=8，
∴直線AB的解析式為y=-x+8，
聯(lián)立直線AB和直線DE解析式可得

y=2x-6 y=-x+8

，解得

x= 14 3 y= 10 3

，
∴E點(diǎn)為（

14

3

，

10

3

），
當(dāng)F在x軸上方時，
過E點(diǎn)作EF∥x軸，則直線EF方程為y=

10

3

，
①當(dāng)AF∥DE時，過A作AF∥DE，交EF于點(diǎn)F，如圖2，

∵直線DE解析式為y=2x-6，
∴設(shè)直線AF解析式為y=2x+s，且過A點(diǎn)，
把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得s=-16，
∴直線AF的解析式為y=2x-16，
聯(lián)立直線AF和直線EF解析式可求得F點(diǎn)坐標(biāo)為（

29

3

，

10

3

），
②當(dāng)DF∥AE時，過D作DF∥AE，交EF于點(diǎn)F，如圖3，

∵直線AB的解析式為y=-x+8，
∴設(shè)直線DF解析式為y=-x+r，且過D點(diǎn)，
把D點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得r=3，
∴直線DF的解析式為y=-x+3，
聯(lián)立直線DF和EF解析可求得F點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

3

，

10

3

），
當(dāng)F在x軸下方時，如圖4，則有AE∥DF，DE∥AF，

可求得直線AF的解析式為y=2x-16，直線DF解析式為y=-x+3，
聯(lián)立可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

19

3

，-

10

3

），
綜上可知存在點(diǎn)F使點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，其坐標(biāo)為（

29

3

，

10

3

）或（-

1

3

，

10

3

）或（

19

3

，-

10

3

）．

點(diǎn)評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及直線交點(diǎn)的求法等知識的綜合應(yīng)用．掌握好待定系數(shù)法就函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，在（3）中確定出點(diǎn)F的位置是解題的關(guān)鍵，利用直線的交點(diǎn)求其坐標(biāo)是常用的方法．注意方程思想的應(yīng)用．