Question

【題目】閱讀材料題：

浙教版九上作業(yè)本①第18頁(yè)有這樣一個(gè)題目：已知，如圖一，P是正方形ABDC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的長(zhǎng).

小明看到題目后，思考了許久，仍沒(méi)有思路，就去問(wèn)數(shù)學(xué)老師，老師給出的提示是：將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本題. 請(qǐng)根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中線段PB的長(zhǎng)為 .

（方法遷移）：已知：如圖二，△ABC為正三角形，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若PC=1，PA=2，PB=,求∠APB的大小.

（能力拓展）：已知：如圖三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底邊AB上兩點(diǎn)且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）6；（2）90°；（3）

【解析】

如圖一，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PAP'是等腰直角三角形，求出PP'，然后求出∠PP'B=90°，利用勾股定理求出PB即可；

[方法遷移]：將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P'AB，連接PP'，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PAP'是等邊三角形，利用勾股定理逆定理可證∠PBP'=90°，且∠BPP'=30°，問(wèn)題得解；

[能力拓展]：將△CAD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD'，連接ED'，易證△CDE≌△CD'E，可得DE=D'E，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠EBD'=60°，AD=BD'=2，過(guò)點(diǎn)D'作D'F⊥AB于F，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求出BF和D'F，然后利用勾股定理可求D'E，問(wèn)題得解.

解：如圖一，將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，連接PP'，

∴PA= P'A=4，PC= P'B=2，∠PAP'=90°，∠AP'B= ∠APC =135°，

∴∠PP'A=45°，

∴PP'，∠PP'B=135°-45°=90°，

∴；

[方法遷移]：

如圖二，將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P'AB，連接PP'，

∴PA= P'A=2，PC= P'B=1，∠PAP'=60°，

∴△PAP'是等邊三角形，

∴PP'= PA= 2，

∵，即，

∴∠PBP'=90°，∠BPP'=30°，

∴∠APB=60°+30°=90°；

[能力拓展]：

如圖三，將△CAD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD'，連接ED'，

∴CD=CD'，AD=BD'=2，∠DCD'=120°，

∵∠DCE=60°，

∴∠DCE=∠ECD'=60°，

又∵CE=CE，

∴△CDE≌△CD'E（SAS），

∴DE=D'E，

又∵∠A=∠ABC=，

∴∠A=∠CBD'=30°，

∴∠EBD'=60°，

過(guò)點(diǎn)D'作D'F⊥AB于F，

∴BF=，D'F=，

∴EF=2，

∴，

∴.