Question

9．將邊長為4的等邊三角形OAB放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中O為坐標(biāo)原點，點B在x軸正半軸上，點A在第一象限內(nèi)，點D是線段OB上的動點，設(shè)OD=m．
（1）直接寫出點B的坐標(biāo)（4，0）．
（2）求△AOD的面積（用含m的代數(shù)式表示）．
（3）如圖1，以AD為直徑的⊙M分別交OA、AB于點E、F，連接EF，求線段EF長度的最小值．
（4）如圖2，點C為線段AB上的點，且BC=$\frac{1}{3}$AB，點P在線段OA上（不與O、A重合）．點D在線段OB上運動，當(dāng)∠CPD=60°時，求滿足條件的點P的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)可得OB=4，進而可求出點B的坐標(biāo)；
（2）易求等邊三角形OB邊上的高，再利用三角形面積公式即可求出△AOD的面積；
（3）連結(jié)EM、FM，作MN⊥EF于N，在等邊△OAB中，∠OAB=60°，進而可得EF=2EN=2EM•sin∠EMN=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$AD，若線段EF的長度要最小，則線段AD的長要最小，所以當(dāng)AD⊥OB時，AD最短，即當(dāng)m=2時，AD有最小值$2\sqrt{3}$；
（4）利用已知條件易證△OPD∽△ACP，由相似三角形的性質(zhì)可得：$\frac{OP}{AC}=\frac{OD}{AP}$，設(shè)OP=x，則AP=4-x，因為BC=$\frac{1}{3}$AB，所以AC=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{8}{3}$，進而$\frac{x}{\frac{8}{3}}$=$\frac{m}{4-x}$，化簡得：${x^2}-4x+\frac{8}{3}m=0$，再根據(jù)根的判別式即可求出點P的個數(shù)．

解答 解：（1）∵△AOB是等邊三角形，
∴AO=BO=CO=4，
∴點B的坐標(biāo)為（4，0），
故答案為：4，0
（2）∵OA=4
∴等邊三角形OAB的高為2$\sqrt{3}$，
∴△AOD的面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$m=$\sqrt{3}$m；
（3）如圖1：連結(jié)EM、FM，作MN⊥EF于N，在等邊△OAB中，∠OAB=60°，
∴∠EMF=120°，
∵EM=FM，
∴∠EMN=$\frac{1}{2}$∠EMF=60°，
∴EF=2EN=2EM•sin∠EMN=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$AD，
若線段EF的長度要最小，則線段AD的長要最小，
∴當(dāng)AD⊥OB時，AD最短，
即當(dāng)m=2時，AD有最小值$2\sqrt{3}$，
此時EF的長度有最小值，最小值為EF=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$×$2\sqrt{3}$=3；
（4）在等邊三角形OAB中，∠AOB=∠A=60°，
若∠CPD=60°，則∠APC+∠OPD=120°，
∵∠OPD+∠ODP=120°，
∴∠APC=∠ODP，
∴△OPD∽△ACP，
∴$\frac{OP}{AC}=\frac{OD}{AP}$，
設(shè)OP=x，則AP=4-x，
∵BC=$\frac{1}{3}$AB，
∴AC=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{x}{\frac{8}{3}}$=$\frac{m}{4-x}$，化簡得：${x^2}-4x+\frac{8}{3}m=0$，
∵$△={（-4）^2}-4×1×\frac{8}{3}m=16-\frac{32}{3}m$，
∴當(dāng)$△＜0，即4≥m＞\frac{3}{2}時$，方程沒有實數(shù)根，此時對應(yīng)的點P不存在；  
當(dāng)$△=0，即m=\frac{3}{2}時$，方程有兩個相等的實數(shù)根，此時對應(yīng)的點P有1個；
當(dāng)$△＞0，即0≤m＜\frac{3}{2}時$，方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時對應(yīng)的點P有2個．

點評 本題綜合考查了圓的有關(guān)知識，用到的知識點有：等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的運用、特殊角的銳角三角函數(shù)函數(shù)值、相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程根的判別式，題目的綜合性較強，難度中等．