Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線y=$\frac{1}{x}$上，其中，點(diǎn)A、B在第一象限，點(diǎn)C、D在第三象限，對角線AC經(jīng)過原點(diǎn)O，求證：∠BAD=∠BCD．

Answer 1

分析 延長BA交x軸于F，延長DC交x軸于M，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖所示．設(shè)點(diǎn)A（a，$\frac{1}{a}$），點(diǎn)B（b，$\frac{1}$），則點(diǎn)C（-a，-$\frac{1}{a}$）．然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后求出直線AB與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求得tan∠BFH=$\frac{1}{ab}$，同理可得tan∠BEH=$\frac{1}{ab}$，即可得到∠BFH=∠BEH，從而可得∠BFH=∠MEC，同理可得∠ANF=∠DMO，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BAD=∠BCD．

解答 證明：延長BA交x軸于F，延長DC交x軸于M，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖所示．
設(shè)點(diǎn)A（a，$\frac{1}{a}$），點(diǎn)B（b，$\frac{1}$），則點(diǎn)C（-a，-$\frac{1}{a}$）．
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=am+n}\\{\frac{1}=bm+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{ab}}\\{n=\frac{a+b}{ab}}\end{array}\right.$，．
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{ab}$x+$\frac{a+b}{ab}$，
當(dāng)y=0時(shí)，x=a+b，則F（a+b，0）．
在Rt△BHF中，tan∠BFH=$\frac{BH}{HF}$=$\frac{\frac{1}}{a+b-b}$=$\frac{1}{ab}$．
同理可得：tan∠BEH=$\frac{BH}{EH}$=$\frac{1}{ab}$，
∴tan∠BFH=tan∠BEH，
∴∠BFH=∠BEH．
∵∠MEC=∠BEH，
∴∠BFH=∠MEC．
同理可得：∠ANF=∠DMO．
∵∠BCD=∠MEC+∠DMO，∠BAD=∠BFH+∠ANF，
∴∠BAD=∠BCD．

點(diǎn)評 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、用待定系數(shù)法求直線的解析式、求直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、三角函數(shù)的定義、三角形外角的性質(zhì)等知識，證到直線BA、BC與x軸所成的銳角相等及直線DA、DC與x軸所成的銳角相等，是解決本題的關(guān)鍵．