Question

6．已知Q是圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，PB、PD是圓的切線，且P在直線AC上，求證：（1）$\frac{QA}{OC}$=$\frac{AB•AD}{CB•CD}$；（2）$\frac{QA}{QC}$=$\frac{PA}{PC}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定方法得出△AQB∽△DQC以及△AQD∽△BQC，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定方法得出△PAD∽△PBC以及△PAB∽△PBC，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．

解答 證明：（1）如圖所示：
∵Q是圓內(nèi)接四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∠ABQ=∠DCQ，
∠AQB=∠DQC，
∴△AQB∽△DQC，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{QA}{DQ}$①，
同理可得：△AQD∽△BQC，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{DQ}{QC}$②，
由①×②得：
$\frac{AB}{CD}$×$\frac{AD}{BC}$=$\frac{QA}{DQ}$×$\frac{DQ}{QC}$，
∴$\frac{QA}{QC}$=$\frac{AB•AD}{BC•DC}$；

（2）如圖所示：∵PB、PD是圓的切線，
∴PB=PD，∠PDA=∠PCD，
∵∠DPA=∠CPD，
∴△PAD∽△PBC，
∴$\frac{PD}{PC}$=$\frac{AD}{DC}$③，
同理可得：△PAB∽△PBC，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AB}{BC}$④，
∴由③×④得：$\frac{PD}{PC}$×$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AD}{DC}$×$\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AB•AD}{BC•CD}$，
由（1）得：$\frac{QA}{QC}$=$\frac{PA}{PC}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等知識(shí)，正確掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．